Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，O為AD中點(diǎn).

（1）求證：PO⊥平面ABCD；

（2）求直線BD與平面PAB所成角的正弦值；

（3）線段AD上是否存在點(diǎn)，使得它到平面PCD的距離為.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) .

（3）見解析.

【解析】

(1)先證明PO⊥AD,再證明PO⊥平面ABCD.(2)先證明∠DBP為直線BD與平面PAB所成角，再求直線BD與平面PAB所成角的正弦值.(3) 假設(shè)存在點(diǎn)Q，設(shè)QD＝x，再求出x的值.

（1）證明：在△PAD中PA=PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD,

又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（2）由（1）PO⊥平面ABCD，，又AB⊥AD，，

. ，，，，

為直線BD與平面PAB所成的角.

在Rt△DPB中，，，，

所以直線BD與平面PAB所成角的正弦值為.

（3）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為.

設(shè)QD＝x，則，由（Ⅱ）得CD=OB=，

在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP，

由VP-DQC=VQ-PCD 得，，

所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).