Question

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2ωx-

π

6

)-2cos2ωx+1，若f（x）的最小正周期為8．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求當(dāng)x∈[0，2]時(shí)y=g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，根據(jù)周期求ω的值；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ），求出y=f（x）的表達(dá)式，圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求出函數(shù)y=g（x），根據(jù)x∈[0，2]，求出y=g（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωxcos

π

6

-cos2ωxsin

π

6

-cos2ωx
=

3

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx
=

3

sin(2ωx-

π

3

)（4分）
∵f（x）的最小正周期為T=

2π

2ω

=8，故ω=

π

8

（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=

3

sin(

π

4

x-

π

3

)
在y=g（x）的圖象上任取一點(diǎn)（x，g（x）），它關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)（2-x，g（x））．
由題設(shè)條件，點(diǎn)（2-x，g（x））在y=f（x）的圖象上，
從而g(x)=f(2-x)=

3

sin[

π

4

(2-x)-

π

3

]
=

3

sin[

π

2

-

π

4

x-

π

3

]=

3

cos(

π

4

x+

π

3

)（8分）
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

5π

6

，
因此當(dāng)x=2時(shí)，y=g（x）在區(qū)間[0，2]上取得最小值為：gmin(x)=

3

cos

5π

6

=-

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．