Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.

（1）求證：數(shù)列等差數(shù)列；

（2）當(dāng)時(shí)，記，是否存在正整數(shù)、，使得、、成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若數(shù)列、、、、、是公比為的等比數(shù)列，求最小正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，有且只有一個(gè)為；（3）.

【解析】

（1）由得出，兩式相減，推導(dǎo)出，利用等差中項(xiàng)法可證得數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）由，得出，求出、，可求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出，假設(shè)存在正整數(shù)、，使得，化簡(jiǎn)得出，變形得出，對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性的、的值；

（3）求出、，可求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由題意得出的表達(dá)式，進(jìn)而可得出，設(shè)，計(jì)算得出，，，，，，設(shè)，利用定義證明數(shù)列的單調(diào)性，由此可證得當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可證得結(jié)論成立.

（1）由題意得，兩式相減得，

則有，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，故數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）因?yàn)?/span>，，

所以，解得；，即，解得.

所以數(shù)列的公差為，所以，故.

假設(shè)存在正整數(shù)、，使得，，成等比數(shù)列，則，

于是（*），所以.

當(dāng)時(shí)，，則，所以是方程（*）的一組解；

當(dāng)且時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以，數(shù)列在上單調(diào)遞減，

所以，此時(shí)方程（*）無正整數(shù)解.

綜上，滿足題設(shè)的數(shù)對(duì)有且只有一個(gè)，為；

（3）由題意得，解得，

故數(shù)列的公差，所以，

故，所以.

又因?yàn)?/span>，所以，即.

記，

則，，，，，，

猜想：當(dāng)時(shí)，.

驗(yàn)證如下：記，

則

，

所以數(shù)列單調(diào)遞增，故，

所以，故最小正整數(shù)的值為.