【題目】設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在
時恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若函數(shù),求證:函數(shù)
的極大值小于1.
【答案】(1)見解析;(2)(3)見證明
【解析】
(1)先對函數(shù)求導(dǎo),分別討論和
,即可得出結(jié)果;
(2)先將函數(shù)在
時恒成立,轉(zhuǎn)化為
在
上恒成立,再設(shè)
,
,利用導(dǎo)數(shù)方法求出
的最大值,即可得出結(jié)果;
(3)先由題意得到,對
求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性,即可求出其極大值,得出結(jié)論.
解:(1)由于,
,
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,由
得
,由
得
;
所以在
上單調(diào)遞減,
上單調(diào)遞增.
(2)若在
上恒成立,
只需,
.
令,
,則
,
由得
,所以
,
隨
的變化情況如下:
1 | |||
+ | 0 | - | |
極大值 |
所以,所以
.
(3)由題知,
,
令,
,
則函數(shù)在
上單調(diào)遞減,
,
,
所以存在唯一的,
當(dāng)時,
;當(dāng)
時,
.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
,單調(diào)遞減區(qū)間是
,
其中,所以函數(shù)
有極大值.
函數(shù)的極大值是
,由
,得
,
所以,因為
,所以
,即
,
所以的極大值小于1.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)調(diào)查顯示,某高校萬男生的身高服從正態(tài)分布
,現(xiàn)從該校男生中隨機抽取
名進行身高測量,將測量結(jié)果分成
組:
,
,
,
,
,
,并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求這名男生中身高在
(含
)以上的人數(shù);
(Ⅱ)從這名男生中身高在
以上(含
)的人中任意抽取
人,該
人中身高排名(從高到低)在全校前
名的人數(shù)記為
,求
的數(shù)學(xué)期望.
(附:參考數(shù)據(jù):若服從正態(tài)分布
,則
,
,
.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量=(sinx,cosx),
=(sin(x﹣
),sinx),函數(shù)f(x)=2
,g(x)=f(
).
(1)求f(x)在[,π]上的最值,并求出相應(yīng)的x的值;
(2)計算g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2014)的值;
(3)已知t∈R,討論g(x)在[t,t+2]上零點的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】年春節(jié)期間,某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動,消費每超過
元(含
元),均可抽獎一次,抽獎方案有兩種,顧客只能選擇其中的一種.方案一:從裝有
個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球
個,黑球
個)的抽獎盒中,一次性摸出
個球,其中獎規(guī)則為:若摸到
個紅球,享受免單優(yōu)惠;若摸出
個紅球則打
折,若摸出
個紅球,則打
折;若沒摸出紅球,則不打折.方案二:從裝有
個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球
個,黑球
個)的抽獎盒中,有放回每次摸取
球,連摸
次,每摸到
次紅球,立減
元.
(1)若兩個顧客均分別消費了元,且均選擇抽獎方案一,試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率;
(2)若某顧客消費恰好滿元,試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)直線與拋物線
交于
,
兩點,與橢圓
交于
,
兩點,直線
,
,
,
(
為坐標(biāo)原點)的斜率分別為
,
,
,
,若
.
(1)是否存在實數(shù),滿足
,并說明理由;
(2)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“雙十一”已經(jīng)成為網(wǎng)民們的網(wǎng)購狂歡節(jié),某電子商務(wù)平臺對某市的網(wǎng)民在今年“雙十一”的網(wǎng)購情況進行摸底調(diào)查,用隨機抽樣的方法抽取了100人,其消費金額 (百元)的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)求網(wǎng)民消費金額的平均值和中位數(shù)
;
(2)把下表中空格里的數(shù)填上,能否有的把握認為網(wǎng)購消費與性別有關(guān);
男 | 女 | 合計 | |
30 | |||
合計 | 45 |
附表:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“盈不足”問題知兩鼠穿垣.今有垣厚5尺,兩鼠對穿.大鼠日一尺,小鼠亦一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.問:何日相逢?題意是:由垛厚五尺(舊制長度單位, 尺=
寸)的墻壁,大小兩只老鼠同時從墻的兩面,沿一直線相對打洞.大鼠第一天打進
尺,以后每天的速度為前一天的
倍;小鼠第一天也打進
尺,以后每天的進度是前一天的一半.它們多久可以相遇?
A. 天 B.
天 C.
天 D.
天
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分數(shù)據(jù),如下表:
0 | |||||
0 | 2 | 0 | 0 |
(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整,填寫在相應(yīng)位置,并求出函數(shù)的解析式;
(2)把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再把得到的圖象向左平移
個單位長度,得到函數(shù)
的圖象,求
的值.
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