Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 滿足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N* ， 且S3=15．
（1）求a1 ， a2 ， a3的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：

S2=4a3﹣20 ①

又S3=S2+a3=15 ②

聯(lián)立①②解得：a3=7．

再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：

a1=2a2﹣7 ③

又S3=a1+a2+7=15 ④

聯(lián)立③④得：a2=5，a1=3．

∴a1，a2，a3的值分別為3，5，7

（2）

解：∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1．

由此猜測(cè)an=2n+1．

下面由數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)，a1=3=2×1+1成立．

②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即ak=2k+1．

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，得 ，

，

兩式作差得： ．

∴

= =2（k+1）+1．

綜上，當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立．

∴an=2n+1．

【解析】（1）在數(shù)列遞推式中取n=2得一關(guān)系式，再把S3變?yōu)镾2+a3得另一關(guān)系式，聯(lián)立可求a3 ， 然后把遞推式中n取1，再結(jié)合S3=15聯(lián)立方程組求得a1 ， a2；（2）由（1）中求得的a1 ， a2 ， a3的值猜測(cè)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案．