Question

【題目】【2015高考湖北（理）20】某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產兩種奶制品．生產1噸產品需鮮牛奶2噸，使用設備1小時，獲利1000元；生產1噸產品需鮮牛奶1.5噸，使用設備1.5小時，獲利1200元．要求每天產品的產量不超過產品產量的2倍，設備每天生產兩種產品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數量W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為

W	12	15	18
P	0.3	0.5	0.2

該廠每天根據獲取的鮮牛奶數量安排生產，使其獲利最大，因此每天的最大獲利（單位：元）是一個隨機變量．

（Ⅰ）求的分布列和均值；

（Ⅱ） 若每天可獲取的鮮牛奶數量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的分布列為：

	8160	10200	10800
	0.3	0.5	0.2

；（Ⅱ）0.973.

【解析】（Ⅰ）設每天兩種產品的生產數量分別為，相應的獲利為，

則有 （1）

目標函數為 ．

當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖1，三個頂點分別為．

將變形為，

當時，直線：在軸上的截距最大，

最大獲利．

當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖2，三個頂點分別為．

將變形為，

當時，直線：在軸上的截距最大，

最大獲利．

當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖3，

四個頂點分別為.

將變形為，

當時，直線：在軸上的截距最大，

最大獲利．

故最大獲利的分布列為

	8160	10200	10800
	0.3	0.5	0.2

因此，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大獲利超過10000元的概率，

由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為