Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_i=a，a是非零常數(shù)，an=

2an-1，n為奇數(shù) an-1+t，n為偶數(shù)

t是常數(shù)，
（1）當(dāng)a-1，t=0時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）對(duì)于給定的常數(shù)a是否存在常數(shù)t，λ使數(shù)列{a_n+λ}是等比數(shù)列．若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知首項(xiàng)等于1，t=0，代入已知的數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式中，得到當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第n項(xiàng)等于前一項(xiàng)的2倍；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第n項(xiàng)等于第n-1項(xiàng)，分別根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出各自的通項(xiàng)即可；
（2）根據(jù)已知a_n的分段函數(shù)，分別表示出第1，2，3及4項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列{a_n+λ}是等比數(shù)列，得到第2項(xiàng)與λ和的平方等于第1項(xiàng)與λ的和乘以第3項(xiàng)與λ的和，且第3項(xiàng)與λ和的平方等于第2項(xiàng)與λ的和乘以第4項(xiàng)與λ的和，把表示出的四項(xiàng)代入，化簡(jiǎn)后得到t與λ關(guān)于a的兩關(guān)系式，把a(bǔ)看作已知數(shù)解出t和λ，然后把求出的t和λ代入數(shù)列中檢驗(yàn)，滿足題意，故存在常數(shù)t，λ使數(shù)列{a_n+λ}是等比數(shù)列．

解答：解：（1）由已知a₁=1，a₂=1，a₃=2a₂，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=2a_n-1=2a_n-2=…=2

n-1

2

，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)a_n=2

n-2

2

；
（2）由已知a₁=a，a₂=a+t，a₃=2a+2t，a₄=2a+3t，
若{a_n+λ}成等比數(shù)列，
則有（a₂+λ）²=（a₁+λ）（a₃+λ），（a₃+λ）²=（a₂+λ）（a₄+λ），
化簡(jiǎn)得：a²+aλ=t²，2a²+aλ+3at=-t²，
所以t=-

a

2

，λ=-

3a

4

，代入數(shù)列{a_n+λ}得到數(shù)列的各項(xiàng)為：

a

4

，-

a

4

，

a

4

，-

a

4

，…，
則數(shù)列{a_n+λ}為首項(xiàng)是

a

4

，公比是-1的等比數(shù)列，
故存在t=-

a

2

，λ=-

3a

4

使得{a_n+λ}成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用數(shù)列的遞推式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．