Question

已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設函數(shù)．若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）,（2）當時，在上單調(diào)遞減,若，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．若，在上單調(diào)遞增．（3）.

解析試題分析：（1）利用導數(shù)幾何意義求切線斜率，根據(jù)點斜式寫切線過程. 函數(shù)的定義域為，．當時，函數(shù)，，．所以曲線在點處的切線方程為,即．（2）利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，關鍵明確導函數(shù)零點與定義域的關系，正確判斷導數(shù)符號. 當時，,,當時,若，由，即，得或；由，即，得．若，,.（3）存在性問題，利用變量分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值. 因為，等價于.令，等價于“當 時，”. 因為當時，，所以，因此.
函數(shù)的定義域為，．   1分
（1）當時，函數(shù)，，．
所以曲線在點處的切線方程為，
即．         4分
（2）函數(shù)的定義域為．
1.當時，在上恒成立，
則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減．     5分
2.當時，，
（�。┤�，
由，即，得或；      6分
由，即，得．         7分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為