Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個不同的零點.

（�。┣髮崝�(shù)的取值范圍；

（ⅱ）求證：.（其中為的極小值點）

Answer 1

【答案】（1）；（2）（�。�；（ⅱ）證明見解析.

【解析】

1先求其導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，即求的最小值即可；
2結(jié)合第一問的結(jié)論得不單調(diào)，故；設(shè)有兩個根，設(shè)為，，且，可得原函數(shù)的單調(diào)性，把問題轉(zhuǎn)化為，即可求解結(jié)論．
轉(zhuǎn)化為先證明不等式，若，，，則再把原結(jié)論成立轉(zhuǎn)化為證；構(gòu)造函數(shù)一步步推其成立即可．

（1）由，得，

設(shè)，；則；

由，解得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以

因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在恒成立

所以；

所以，實數(shù)的取值范圍是：.

（2）（i）因為函數(shù)有兩個不同的零點，不單調(diào)，所以.

因此有兩個根，設(shè)為，且，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

又，，當(dāng)充分大時，取值為正，因此要使得有兩個不同的零點，則必須有，即；

又因為；

所以：，解得，所以；

因此當(dāng)函數(shù)有兩個不同的零點時，實數(shù)的取值范圍是.

（ⅱ）先證明不等式，若，，則.

證明：不妨設(shè)，即證，

設(shè)，，，

只需證且；

因為，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，，從而不等式得證.

再證原命題.

由得；

所以，兩邊取對數(shù)得：；

即.

因為，

所以，

因此，要證.

只需證；

因為在上單調(diào)遞增，，所以只需證，

只需證，即證，其中；

設(shè)，，只需證；

計算得；

.

由在上單調(diào)遞增，

得，

所以；即在上單調(diào)遞減，

所以：；

即在上單調(diào)遞增，所以成立，即原命題得證.