Question

【題目】若函數(shù)的反函數(shù)記為，已知函數(shù)．

（1）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）個(gè)；（2）．

【解析】

試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo),判斷單調(diào)性,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得出極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況,先研究不帶參數(shù)的部分,得到,因此把分為三部分,研究,和得出函數(shù)的單調(diào)性和最值,從而求出的范圍．

試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，也是減函數(shù)，

∴在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，∴在上有且只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

∴在定義域上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)．．

（2）令，要使總成立，只需時(shí)，，對(duì)求導(dǎo)得，

令，則，

∴在上為增函數(shù)，∴．

①當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上為增函數(shù)，∴，即

恒成立；

②當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，∵在上為增函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，，∴，不符合題意；

③當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上為減函數(shù)，則，不符合題意．

綜合①②③可得，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是．