Question

已知圓M：（x+1）²+y²=16及定點(diǎn)N（1，0），點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，線段PN的中垂線與線段PM相交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程得到點(diǎn)M坐標(biāo)（-1，0），圓的半徑R=4．再由線段中垂線定理，可化簡(jiǎn)出GM+GN=PM=4，從而得出點(diǎn)G的軌跡C是以M、N為焦點(diǎn)，2a=4的橢圓．最后根據(jù)橢圓的基本概念，即可得出點(diǎn)G的軌跡C對(duì)應(yīng)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：∵圓M方程為：（x+1）²+y²=16
∴點(diǎn)M（-1，0），半徑R=4，
∵線段PN的中垂線與線段PM相交于點(diǎn)G，
∴GN=GP，可得GM+GN=GM+GP=PM
∵點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，∴PM長(zhǎng)為圓M的半徑4
∴動(dòng)點(diǎn)G滿足GM+GN=4，點(diǎn)G的軌跡C是以M、N為焦點(diǎn)，2a=4的橢圓．
可得a²=4，c=1，b²=a²-c²=3
∴軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
故答案為：

x2

4

+

y2

3

=1

點(diǎn)評(píng)：本題借助一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，得到橢圓的第一定義，進(jìn)而求出其軌跡方程．著重考查了線段的垂直平分線定理和橢圓的基本概念等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．