Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,,.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(Ⅲ) 證明:對(duì)一切正整數(shù),有.

Answer 1

(Ⅰ) 4(Ⅱ)  (Ⅲ)見(jiàn)解析

(Ⅰ) 依題意,,又,所以；
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),,

兩式相減得
整理得,即,又
故數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,
所以,所以.
(Ⅲ) 當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；
當(dāng)時(shí),,此時(shí)


綜上,對(duì)一切正整數(shù),有.
(1)直接將n換為2代入遞推式求解；（2）借助進(jìn)行遞推轉(zhuǎn)化，進(jìn)而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生對(duì)式子的操作能力和轉(zhuǎn)化能力.(3)借助放縮法進(jìn)行證明，放縮的關(guān)鍵是
【考點(diǎn)定位】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和問(wèn)題，以及不等式的證明.