【題目】若數列
同時滿足：①對于任意的正整數
， 
恒成立；②對于給定的正整數
， 
對于任意的正整數
恒成立，則稱數列
是“
數列”.
（1）已知
判斷數列
是否為“
數列”，并說明理由；
（2）已知數列
是“
數列”，且存在整數
，使得
， 
， 
， 
成等差數列，證明： 
是等差數列.
【答案】（1）是（2）見解析
【解析】試題分析：（1）根據定義驗證兩個條件是否成立，由于函數為分段函數，所以分奇偶分別驗證（2）根據定義數列隔項成等差，再根據單調性確定公差相等，最后求各項通項，根據通項關系得數列
通項，根據等差數列證結論
試題解析：（1）當
為奇數時， 
，所以
.
.
當
為偶數時， 
，所以
.
.
所以，數列
是“
數列”.
（2）由題意可得： 
，
則數列
， 
， 
， 
是等差數列，設其公差為
，
數列
， 
， 
， 
是等差數列，設其公差為
，
數列
， 
， 
， 
是等差數列，設其公差為
.
因為
，所以
，
所以
，
所以
①，
②.
若
，則當
時，①不成立；
若
，則當
時，②不成立；
若
，則①和②都成立，所以
.
同理得： 
，所以
，記
.
設
，
則
.
同理可得： 
，所以
.
所以
是等差數列.
【另解】
，
，
，
以上三式相加可得： 
，所以
，
所以
，
，
，
所以
，所以
，
所以，數列
是等差數列.
同步奧數系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
的標準方程為
，圓心為，直線
的方程為
，點
在直線上，過點作圓的切線
，
，切點分別為
，
．
（1）若
，試求點的坐標；
（2）若點的坐標為
，過作直線與圓交于
兩點，當
時，求直線
的方程；
（3）求證：經過，，三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前
項和為
，且滿足
，
，設
，則以下四個命題：（1）
是等差數列；（2）
中最大項是
；（3）通項公式是
；（4）
.其中真命題的序號是______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從數列
中取出部分項組成的數列稱為數列的“子數列”.
（1）若等差數列的公差
，其子數列
恰為等比數列，其中
，
，
，求
；
（2）若
，
，判斷數列
是否為的“子數列”，并證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】市政府招商引資，為吸引外商，決定第一個月產品免稅，某外資廠該第一個月A型產品出廠價為每件10元，月銷售量為6萬件；第二個月，當地政府開始對該商品征收稅率為
，即銷售1元要征收
元）的稅收，于是該產品的出廠價就上升到每件
元，預計月銷售量將減少p萬件.
（1）將第二個月政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數，并指出這個函數的定義域；
（2）要使第二個月該廠的稅收不少于1萬元，則p的范圍是多少？
（3）在第（2）問的前提下，要讓廠家本月獲得最大銷售金額，則p應為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設污水凈化管道(管道構成Rt△FHE，H是直角項點)來處理污水．管道越長，污水凈化效果越好．設計要求管道的接口H是AB的中點，E，F分別落在線段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝
米，記∠BHE＝
．
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為的函數，并寫出定義域；
（2）當取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度L．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
的左、右焦點分別為
，
，點
在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）若A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，直線
與直線
交于點P，
，求直線
的斜率．
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