【題目】若數(shù)列同時滿足:①對于任意的正整數(shù)
,
恒成立;②對于給定的正整數(shù)
,
對于任意的正整數(shù)
恒成立,則稱數(shù)列
是“
數(shù)列”.
(1)已知判斷數(shù)列
是否為“
數(shù)列”,并說明理由;
(2)已知數(shù)列是“
數(shù)列”,且存在整數(shù)
,使得
,
,
,
成等差數(shù)列,證明:
是等差數(shù)列.
【答案】(1)是(2)見解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)定義驗證兩個條件是否成立,由于函數(shù)為分段函數(shù),所以分奇偶分別驗證(2)根據(jù)定義數(shù)列隔項成等差,再根據(jù)單調(diào)性確定公差相等,最后求各項通項,根據(jù)通項關(guān)系得數(shù)列通項,根據(jù)等差數(shù)列證結(jié)論
試題解析:(1)當(dāng)為奇數(shù)時,
,所以
.
.
當(dāng)為偶數(shù)時,
,所以
.
.
所以,數(shù)列是“
數(shù)列”.
(2)由題意可得: ,
則數(shù)列,
,
,
是等差數(shù)列,設(shè)其公差為
,
數(shù)列,
,
,
是等差數(shù)列,設(shè)其公差為
,
數(shù)列,
,
,
是等差數(shù)列,設(shè)其公差為
.
因為,所以
,
所以,
所以①,
②.
若,則當(dāng)
時,①不成立;
若,則當(dāng)
時,②不成立;
若,則①和②都成立,所以
.
同理得: ,所以
,記
.
設(shè)
,
則
.
同理可得: ,所以
.
所以是等差數(shù)列.
【另解】
,
,
,
以上三式相加可得: ,所以
,
所以
,
,
,
所以,所以
,
所以,數(shù)列是等差數(shù)列.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
,圓心為
,直線
的方程為
,點
在直線
上,過
點作圓
的切線
,
,切點分別為
,
.
(1)若,試求點
的坐標(biāo);
(2)若點的坐標(biāo)為
,過
作直線與圓
交于
兩點,當(dāng)
時,求直線
的方程;
(3)求證:經(jīng)過,
,
三點的圓必過定點,并求出所有定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前
項和為
,且滿足
,
,設(shè)
,則以下四個命題:(1)
是等差數(shù)列;(2)
中最大項是
;(3)
通項公式是
;(4)
.其中真命題的序號是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從數(shù)列中取出部分項組成的數(shù)列稱為數(shù)列
的“子數(shù)列”.
(1)若等差數(shù)列的公差
,其子數(shù)列
恰為等比數(shù)列,其中
,
,
,求
;
(2)若,
,判斷數(shù)列
是否為
的“子數(shù)列”,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】市政府招商引資,為吸引外商,決定第一個月產(chǎn)品免稅,某外資廠該第一個月A型產(chǎn)品出廠價為每件10元,月銷售量為6萬件;第二個月,當(dāng)?shù)卣_始對該商品征收稅率為 ,即銷售1元要征收
元)的稅收,于是該產(chǎn)品的出廠價就上升到每件
元,預(yù)計月銷售量將減少p萬件.
(1)將第二個月政府對該商品征收的稅收y(萬元)表示成p的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域;
(2)要使第二個月該廠的稅收不少于1萬元,則p的范圍是多少?
(3)在第(2)問的前提下,要讓廠家本月獲得最大銷售金額,則p應(yīng)為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD交點,,
(I)證明:平面平面
;
(II)若,
三棱錐
的體積為
,求該三棱錐的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(管道構(gòu)成Rt△FHE,H是直角項點)來處理污水.管道越長,污水凈化效果越好.設(shè)計要求管道的接口H是AB的中點,E,F(xiàn)分別落在線段BC,AD上.已知AB=20米,AD=米,記∠BHE=
.
(1)試將污水凈化管道的長度L表示為的函數(shù),并寫出定義域;
(2)當(dāng)取何值時,污水凈化效果最好?并求出此時管道的長度L.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的左、右焦點分別為
,
,點
在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點,直線與直線
交于點P,
,求直線
的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一塊多邊形的花園,它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是如圖所示的直角梯形,其中
,
米,
,則這塊花園的面積為______平方米.
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