Question

已知向量

m

=(cosωx，sinωx)，

n

=(cosωx，

3

cosωx)，設(shè)函數(shù)f(x)=

m

•

n

．
（1）若f（x）的最小正周期是2π，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）的圖象的一條對稱軸是x=

π

6

，（0＜ω＜2），求f（x）的周期和值域．

Answer 1

分析：（1）若函數(shù)的最小正周期為2π，結(jié)合正弦型函數(shù)中T=

2π

ω

，我們易求出ω的值，進(jìn)行給出函數(shù)的解析式，然后再根據(jù)正弦型函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，即可求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）的圖象的一條對稱軸是x=

π

6

，（0＜ω＜2），則當(dāng)x=

π

6

時，函數(shù)的相位角，應(yīng)落在Y軸上，根據(jù)（0＜ω＜2）我們易給出ω的值，然后求出函數(shù)的解析式，然后再根據(jù)正弦型函數(shù)求周期和值域的方法，即可求出f（x）的周期和值域．

解答：解：（1）f(x)=cos2x+

3

sinωx•cosωx
=

cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx+

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

∵T=

2π

2ω

=2π∴ω=

1

2

則f(x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]為單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）∵x=

π

6

是函數(shù)的一條對稱軸
∴2ω×

π

6

+

π

6

=kπ+

π

2

∴ω=3k+1
又∵0＜ω＜2∴當(dāng)k=0時，ω=1
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

∴周期為π，值域為[-

1

2

，

3

2

]．

點(diǎn)評：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進(jìn)行求解．如果求其在區(qū)間上的值域和最值，則要結(jié)合圖象進(jìn)行討論．