Question

已知向量

m

=(cos θ，sin θ)和

n

=(

2

-sin θ，cos θ)，θ∈（π，2π），且|

m

+

n

|=

8 2

5

，求sinθ和cos(

θ

2

+

π

8

)的值．

Answer 1

分析：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出

m

+

n

，然后表示出

m

+

n

的模，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、兩角和的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，讓模等于

8 2

5

，列出關(guān)于cos（θ+

π

4

）的方程，兩邊平方即可得到cos（θ+

π

4

）的值，根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos（θ+

π

4

），得到cos2(

θ

2

+

π

8

)的值，然后根據(jù)θ的范圍求出

θ

2

+

π

8

的范圍，進(jìn)而判斷出cos（

θ

2

+

π

8

）的正負(fù)，開方即可求出值．

解答：解：

m

+

n

=(cosθ-sinθ+

2

，cosθ+sinθ)，
|

m

+

n

|=

(cosθ-sinθ+ 2 )2+(cosθ+sinθ)2

=

4+2 2 (cosθ-sinθ)

=

4+4cos(θ+ π 4 )

．
=2

1+cos(θ+ π 4 )

由已知|

m

+

n

|=

8 2

5

，得cos(θ+

π

4

)=

7

25

，
∴sin（θ+

π

4

）=

1-( 7 25 )2

=

24

25

，
∴sinθ=sin[（θ+

π

4

）-

π

4

]=

2

2

×（

24

25

-

7

25

）=

17 2

50

；
又cos(θ+

π

4

)=2cos2(

θ

2

+

π

8

)-1，
所以cos2(

θ

2

+

π

8

)=

16

25

．
∵π＜θ＜2π，∴

5π

8

＜

θ

2

+

π

8

＜

9π

8

，
∴cos(

θ

2

+

π

8

)＜0．
∴cos(

θ

2

+

π

8

)=-

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)求向量的模，靈活運(yùn)用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．