Question

【題目】《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑.在如圖所示的陽(yáng)馬，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接.

（1）證明：平面，試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）記陽(yáng)馬的體積為，四面體的體積為，求．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析，四面體是一個(gè)鱉臑，；（2）．

【解析】

試題分析：（1）欲證平面，需在平面內(nèi)找到兩條相交的直線都與垂直，即證，即可；（2）根據(jù)錐體的體積公式表示出，，再利用之間的長(zhǎng)度關(guān)系即可求得．

試題解析：（1）因?yàn)?/span>底面，所以，由底面為長(zhǎng)方形，有，而，所以平面平面，所以，又因?yàn)?/span>，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，而，所以平面.由平面，平面可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別是.

（2）由已知，是陽(yáng)馬的高，所以；由（1）知：是鱉臑的高，，所以

在中，因?yàn)?/span>，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，于是