Question

已知矩陣A=

1 2 -1 4

，向量

a

=

7 4

．
（1）求矩陣A的特征值λ₁、λ₂和特征向量

α1

、

α2

；
（2）求A5

α

的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式f(λ)=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
（2）利用特征向量的性質(zhì)計(jì)算，先利用特征向量表示向量

α

，后將求A5

α

的值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求有關(guān)特征向量的計(jì)算問(wèn)題．

解答：解：（1）矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=λ²-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ₁=2，λ₂=3，
當(dāng)λ₁=2時(shí)，得

α1

=

2 1

，當(dāng)λ₂=3時(shí)，得

α2

=

1 1

．（7分）
（2）由

α

=m

α1

+n

α2

得

2m+n=7 m+n=4

，得m=3，n=1．
∴A5

α

=A5(3

α1

+

α2

)=3(A5

α1

)+A5

α2

=3(

λ

5 1

α1

)+

λ

5 2

α2

=3×25

2 1

+35

1 1

=

435 339

．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了特征值與特征向量的計(jì)算以及利用特征向量求向量乘方的問(wèn)題，屬于向量中的基礎(chǔ)題．