Question

當n∈N^*時，，
（Ⅰ）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（Ⅱ）猜想S_n與T_n的關系，并用數學歸納法證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知直接利用n=1，2，求出S₁，S₂，T₁，T₂的值；
（II）利用（1）的結果，直接猜想S_n=T_n，然后利用數學歸納法證明，①驗證n=1時猜想成立；②假設n=k時，S_k=T_k，通過假設證明n=k+1時猜想也成立即可．
解答：解：（I）∵當n∈N^*時，，T_n=+++…+．
∴S₁=1-=，S₂=1-+-=，T₁==，T₂=+=（2分）
（II）猜想：S_n=T_n（n∈N*），即：
1-+-+…+-=+++…+
（n∈N*）（5分）
下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，已證S₁=T₁（6分）
②假設n=k時，S_k=T_k（k≥1，k∈N*），
即：1-+-+…+-=+++…+（8分）
則：S_k+1=S_k+-=T_k+-（10分）
=+++…++-（11分）
=++…+++（-）
=++…++=T_k+1，
由①，②可知，對任意n∈N*，S_n=T_n都成立．（14分）
點評：本題是中檔題，考查數列遞推關系式的應用，數學歸納法證明數列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．