Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長均相等，且AA1⊥平面ABC，點(diǎn)D、E、F分別為所在棱的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面CDB1；

（2）求異面直線EF與BC所成角的余弦值；

（3）求二面角B1﹣CD﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）．

【解析】

以為原點(diǎn)，在平面內(nèi)，過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面；

（2）求出，，，，2，，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值；

（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）證明：以C為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)，過C作BC的垂線為x軸，CB為y軸，

CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB＝2，則E（，，0），F（0，1，2），C（0，0，0），D（，，0），B1（0，2，2），

（，，2），（，，0），（0，2，2），

設(shè)平面CDB1的法向量（x，y，z），

則，取x，得（，﹣1，1），

∵2＝0，EF平面CDB1，

∴EF∥平面CDB1．

（2）解：B（0，2，0），（，，2），（0，2，0），

設(shè)異面直線EF與BC所成角為θ，

則異面直線EF與BC所成角的余弦值為：

cosθ．

（3）解：平面CDB1的法向量（，﹣1，1），

平面BCD的法向量（0，0，1），

設(shè)二面角B1﹣CD﹣B的平面角為α，

則二面角B1﹣CD﹣B的余弦值為：

cosα．