Question

【題目】某市教育部門(mén)為了了解全市高一學(xué)生的身高發(fā)育情況，從本市全體高一學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。經(jīng)數(shù)據(jù)處理后,得到了如下圖1所示的頻事分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100名學(xué)生中,身不低于1.69米的學(xué)生只有16名,其身高莖葉圖如下圖2所示，用樣本的身高頻率估計(jì)該市高一學(xué)生的身高概率.

(I)求該市高一學(xué)生身高高于1.70米的概率,并求圖1中的值.

(II)若從該市高一學(xué)生中隨機(jī)選取3名學(xué)生,記為身高在的學(xué)生人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)若變量滿足且,則稱(chēng)變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果該市高一學(xué)生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是正常的.試判斷該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是否正常,并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(I) 見(jiàn)解析;（Ⅱ）見(jiàn)解析；(Ⅲ) 見(jiàn)解析.

【解析】分析: (I)先求出身高高于1.70米的人數(shù),再利用概率公式求這批學(xué)生的身高高于1.70 的概率.分別利用面積相等求出a、b、c的值. (II)先求出從這批學(xué)生中隨機(jī)選取1名，身高在的概率，再利用二項(xiàng)分布寫(xiě)出的分布列和數(shù)學(xué)期望. (Ⅲ)先分別計(jì)算出和，再看是否滿足且,給出判斷.

詳解： (I)由圖2 可知，100名樣本學(xué)生中身高高于1.70米共有15 名，以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得這批學(xué)生的身高高于1.70 的概率為0.15.

記為學(xué)生的身高，結(jié)合圖1可得:

，

,

,

又由于組距為0.1,所以，

（Ⅱ）以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，

可得: 從這批學(xué)生中隨機(jī)選取1名，身高在的概率

.

因?yàn)閺倪@批學(xué)生中隨機(jī)選取3 名，相當(dāng)于三次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，

所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，

故的分布列為:

	0	1	2	3
	0.027	0.189	0.441	0.343

（或

(Ⅲ)由，取

由（Ⅱ）可知，,

又結(jié)合(I)，可得:

，

所以這批學(xué)生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，應(yīng)該認(rèn)為該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是正常的.