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        1. (2013•樂山二模)已知f(x)=-
          4+
          1
          x2
          ,點Pn(an,-
          1
          an+1
          )
          在曲線y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0.
          (Ⅰ)求證:數(shù)列{
          1
          a
          2
          n
          }
          為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
          (Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
          a
          2
          n
          a
          2
          n+1
          }
          的前n項和為Sn,若對于任意的n∈N*,存在正整數(shù)t,使得Snt2-t-
          1
          2
          恒成立,求最小正整數(shù)t的值.
          分析:(Ⅰ)根據(jù)f(x)=-
          4+
          1
          x2
          ,點Pn(an,-
          1
          an+1
          )
          在曲線y=f(x)上,可得-
          1
          an+1
          =-
          4+
          1
          an2
          ,即
          1
          an+12
          -
          1
          an2
          =4,故可得{
          1
          a
          2
          n
          }
          是以1為首項,4為公差的等差數(shù)列,即可求得數(shù)列{an}的通項公式;
          (Ⅱ) 對通項裂項,再進行求和,從而對于任意的n∈N*使得Snt2-t-
          1
          2
          恒成立,所以只要
          1
          4
          t2-t-
          1
          2
          ,由此可得結(jié)論.
          解答:(Ⅰ)證明:∵f(x)=-
          4+
          1
          x2
          ,點Pn(an,-
          1
          an+1
          )
          在曲線y=f(x)上
          -
          1
          an+1
          =-
          4+
          1
          an2

          1
          an+12
          -
          1
          an2
          =4
          所以{
          1
          a
          2
          n
          }
          是以1為首項,4為公差的等差數(shù)列. 
          1
          an2
          =4n-3
          ∵an>0,∴an=
          1
          4n-3

          (Ⅱ)解:bn=
          a
          2
          n
          a
          2
          n+1
          =
          1
          (4n-3)(4n+1)
          =
          1
          4
          (
          1
          4n-3
          -
          1
          4n+1
          )

          ∴Sn=b1+b2+…+bn=
          1
          4
          (1-
          1
          5
          +
          1
          5
          -
          1
          9
          +…+
          1
          4n-3
          -
          1
          4n+1
          )=
          1
          4
          (1-
          1
          4n+1
          )
          1
          4

          對于任意的n∈N*使得Snt2-t-
          1
          2
          恒成立,所以只要
          1
          4
          t2-t-
          1
          2

          t≥
          3
          2
          t≤-
          1
          2
          ,所以存在最小的正整數(shù)t=2符合題意
          點評:本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合,考查數(shù)列的通項公式,考查裂項法求數(shù)列的和,考查恒成立問題,選擇正確的方法是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•樂山二模)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+?)(其中A>0,|?|<
          π
          2
          )的圖象如圖所示,為了得到g(x)=sin2x的圖象,則只需將f(x)的圖象( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•樂山二模)兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于aKm,燈塔A在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為
          3
          a
          3
          a
          km.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•樂山二模)已知數(shù)列{an}有a1=a,a2=p(常數(shù)p>0),對任意的正整數(shù)n,Sn=a1+a2+…+an,并有Sn滿足Sn=
          n(an-a1)
          2

          (I)試判斷數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列,若是,求其通項公式,若不是,說明理由;
          (II)令Pn=
          Sn+2
          Sn+1
          +
          Sn+1
          Sn+2
          Tn是數(shù)列{Pn}
          的前n項和,求證:Tn-2n<3.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•樂山二模)如圖,已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F恰好是雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)的右焦點,且兩條曲線交點的連線過點F,則該雙曲線的離心率為(  )

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          同步練習(xí)冊答案