Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，且a₁=3．
（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并給出證明；
（2）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，且a₁=3，分別令 n=1，2，3即可求解，進(jìn)而可猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可
（2）由（1）可得a_n=n+2，從而有=（n+2）ⁿ，利用二項(xiàng)式定理展開后即可證明
解答：解：（1）∵，且a₁=3．
∴a₂=4，a₃=5，a₄=6
猜想a_n=n+2
證明：①當(dāng)n=1時(shí)顯然成立
②假設(shè)n=k時(shí)（k≥1）時(shí)成立，即a_k=k+2
則n=k+1時(shí)，a_k+1==
=即n=k+1時(shí)命題成立
綜上可得，a_n=n+2
證明：（2）∵a_n=n+2，n≥2
∴=（n+2）ⁿ=
≥
=5nⁿ-2n^n-1=4nⁿ+n^n-1（n-2）≥4nⁿ，即證
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在求解數(shù)列的通項(xiàng)綜的應(yīng)用及歸納法的應(yīng)用，解答（2）的關(guān)鍵是二項(xiàng)展開式的應(yīng)用．