Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣ x2﹣x+a，a∈R
（1）當a=0時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點（極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值），記為x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ． （ⅰ）求a的取值范圍；
（ⅱ）若不等式e1+λ＜x1x 恒成立，求正實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0時，f（x）=xlnx﹣x，函數(shù)的定義域是（0，+∞），

f（x）=lnx，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

故函數(shù)在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

故函數(shù)的極小值是f（1）=﹣1

（2）解：（i）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），

方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不同根；

即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；

（解法一）轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，

如右圖．

可見，若令過原點且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．

令切點A（x0，lnx0），

故k=y′|x=x0= ，又k= ，

故 = ，解得，x0=e，

故k= ，故0＜a＜ ．

（解法二）轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）= 與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點

又g′（x）= ，

即0＜x＜e時，g′（x）＞0，x＞e時，g′（x）＜0，

故g（x）在（0，e）上單調(diào)增，在（e，+∞）上單調(diào)減．

故g（x）極大=g（e）= ；

又g（x）有且只有一個零點是1，且在x→0時，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時，g（x）→0，

故g（x）的草圖如右圖，

可見，要想函數(shù)g（x）= 與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，

只須0＜a＜ ．

（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）有兩個不同零點，

而g′（x）= ﹣ax= （x＞0），

若a≤0，可見g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）單調(diào)增，

此時g（x）不可能有兩個不同零點．

若a＞0，在0＜x＜ 時，g′（x）＞0，在x＞ 時，g′（x）＜0，

所以g（x）在（0， ）上單調(diào)增，在（ ，+∞）上單調(diào)減，從而g（x）極大值=g（ ）=ln ﹣1，

又因為在x→0時，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時，g（x）→﹣∞，

于是只須：g（x）極大＞0，即ln ﹣1＞0，所以0＜a＜ ．

綜上所述，0＜a＜ ．

（ii）因為e1+λ＜x1x2λ等價于1+λ＜lnx1+λlnx2．

由（i）可知x1，x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個根，

即lnx1=ax1，lnx2=ax2

所以原式等價于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因為λ＞0，0＜x1＜x2，

所以原式等價于a＞ ，

又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln =a（x1﹣x2），

即a= ，所以原式等價于 ＞ ，

因為0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln ＜ 恒成立，

令t= ，t∈（0，1），

則不等式lnt＜ 在t∈（0，1）上恒成立．

令h（t）=lnt﹣ ，

又h′（t）= ，

當λ2≥1時，可見t∈（0，1）時，h′（t）＞0，

所以h（t）在t∈（0，1）上單調(diào)增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合題意．

當λ2＜1時，可見t∈（0，λ2）時，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）時h′（t）＜0，

所以h（t）在t∈（0，λ2）時單調(diào)增，在t∈（λ2，1）時單調(diào)減，又h（1）=0，

所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合題意，舍去．

綜上所述，若不等式e1+λ＜x1x2λ恒成立，只須λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1

【解析】（1）求出f（x）的解析式，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可；（2）（i）由導數(shù)與極值的關系知可轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，或轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）= 與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點；或轉(zhuǎn)化為g（x）=lnx﹣ax有兩個不同零點，從而討論求解；（ii）e1+λ＜x1x2λ可化為1+λ＜lnx1+λlnx2，結合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），從而可得a＞ ；而a= ，從而可得ln ＜恒成立；再令t= ，t∈（0，1），從而可得不等式lnt＜ 在t∈（0，1）上恒成立，再令h（t）=lnt﹣ ，從而利用導數(shù)化恒成立問題為最值問題即可．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．