Question

已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an-1且a1=3，bn=

an-1

anan+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求證數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n-1進(jìn)行變形即得a_n+1-1=2（a_n-1），由此形式即可判斷出數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式，可以根據(jù)（1）的結(jié)論先求出a_n-1，解方程即得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．先求{b_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)其形式發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n可用累加法求得．

解答：解：（1）∵a₁=3，a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
∴{a_n-1}是以a₁-1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．（4分）
（2）由（1）知：∴a_n-1=2•2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+1 （8分）
（3）由題意及（2）得bn=

2n

anan+1

=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，（8分）
∴Sn=(

1

21+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)++(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)=

1

3

-

1

2n+1+1

（13分）

點(diǎn)評：本題考查證明數(shù)列的等比的性質(zhì)，利用等比數(shù)列的求和公式求和，及根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)形式選擇合適的方法求和，本題是數(shù)列中有一定綜合性的題目．在第一問及第三問中對觀察變形的能力要求較高，做題時用心體會一下．