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          內(nèi)蒙古赤峰二中2009年3月高三統(tǒng)一考試
          數(shù)學(xué)（理）
           
          本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘．
           
          　　        
　  第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
          一  。選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
           
          1．若（表示虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于
          A．第一象限     B．第二象限      C．第三象限        D．第四象限
          2．設(shè)
          A．充分不必要條件  B．必要不充分條件  C．充要條件  D．不充分也不必要條件
          3 .在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}中, 、是方程的兩個根，則的值為                        

          A. 32          
B. 64           C.
64           
D.256
          4．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則
          A．2                  B．              C．            D．
          5．已知f(sinx+cosx)=tanx（x[0,π]），則f ()等于
             A　.－        B. －        C. ±      D. －或－
          6．一臺計算機(jī)裝置的示意圖如圖所示，其中、表示數(shù)據(jù)入口，C是計算結(jié)果的出口．計算過程是由、分別輸入正整數(shù)和，經(jīng)過計算機(jī)運(yùn)算后由C輸出的結(jié)果為正整數(shù)．此裝置滿足下列三個性質(zhì)：①；②；③．現(xiàn)從輸入5、輸入6，則輸出結(jié)果的值為
          A．20         
B．22    　　   C．24     　 D．26
           
          7．棱長為3的正三棱柱內(nèi)接于球O中，則球O的表面積為
          A．36              
B．21             
 C．9                D．8
           
          8．已知A、B，以AB為一腰作使∠DAB=直角梯形ABCD，且，CD中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1．若橢圓以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)D，則此橢圓的方程為
          A．     B．  
  C．  
 D．
          9．已知O為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，P、Q的坐標(biāo)滿足不等式組，則的最小值為（   ）
          A、             B、            C、             D、0
          10 .袋中裝有編號從1、2、3、4的四個球，四個人從中各取一個球，則甲不取1號球，乙不取2號球，丙不取3號球，丁不取4號球的概率
             A.         
B.          
C.        
D.
          11.如圖所示，O、A、B是平面上三點(diǎn)，向量在平面        AOB上，P為線段AB的垂直平分線上任一點(diǎn)，
          向量則?（）值是
             A.       B.5          C.3        
D. 
          12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，部分對應(yīng)值如下表，為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖所示．若兩正數(shù)滿足，則的取值范圍是
          -2
          0
          4
          1
          -1
          1
          A．          B．           C．          D．
          第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
          二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案直接填在題中橫線上。
          13．若則
                      

          

          試題詳情
          

          14.直三棱柱中，，則直線與平面所成角的正切值為        。
          

          試題詳情
          

          15．已知函數(shù)f(x)= 在x=1處連續(xù)，則  
___          

          

          試題詳情
          

          16．給出下列四個結(jié)論：
          

          試題詳情
          

          ①若A、B、C、D是平面內(nèi)四點(diǎn)，則必有；
          

          試題詳情
          

          ②“”是“”的充要條件；
          

          試題詳情
          

          ③如果函數(shù)對任意的都滿足，則函數(shù)是周期函數(shù)；
          

          試題詳情
          

          ④已知點(diǎn)和直線分別是函數(shù)圖像的一個對稱中心和一條對稱軸，則的最小值為2；
          其中正確結(jié)論的序號是                 ．（填上所有正確結(jié)論的序號）．
           
           
          

          試題詳情
          

          三、解答題：本大題共6個小題．滿分70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．請將解答過程寫在答題紙的相應(yīng)位置．
           17．（本小題10分）已知向量＝(1＋cosB，sinB)且與向量=（0，1）所成的角為，其中A、B、C為ΔABC的三個內(nèi)角。
          

          試題詳情
          

          （1）求角B的大小；（2）若AC＝，求ΔABC周長的最大值。
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          18．（本小題12分）四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°。
          

          試題詳情
          

          （1）求證：BC⊥平面PAC；
          （2）求二面角D-PC-A的大小的正切值；
          （3）求點(diǎn)B到平面PCD的距離。
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          19．（本小題12分）袋中有形狀大小完全相同的8個小球，其中紅球5個，白球3個。某人逐個從袋中取球，第一次取出一個小球，記下顏色后放回袋中；第二次取出一個小球，記下顏色后，不放回袋中，第三次取出一個小球，記下顏色后，放回袋中，第四次取出一個小球，記下顏色后不放回袋中……，如此進(jìn)行下去，直到摸完球?yàn)橹埂?/p>
          （1）求第四次恰好摸到紅球的概率；
          （2）記ξ為前三次摸到紅球的個數(shù)，寫出其分布列，并求其期望Eξ。
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          20.（本小題滿分12分）
          

          試題詳情
          

          已知數(shù)列滿足
          

          試題詳情
          

          （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
          

          試題詳情
          

          （Ⅱ）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；
          

          試題詳情
          

          （Ⅲ）證明：
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          21．(本小題滿分12分)已知雙曲線的離心率，過點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)間的距離為
          （Ⅰ）求雙曲線方程； 
          

          試題詳情
          

          （Ⅱ）直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)都在以為圓心的同一個圓上，求的取值范圍.
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          22．（本小題12分）已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x2－2x＋c，過點(diǎn)，且在（－2，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在[1，上單調(diào)遞增。
          （1）證明sinθ=1，并求f(x)的解析式。
          

          試題詳情
          

          （2）若對于任意的x1，x2∈[m，m＋3]（m≥0），不等式|f(x1)－f(x2)|≤恒成立。試問這樣的m是否存在，若存在，請求出m的范圍，若不存在，說明理由。
          

          試題詳情
          

          （3）已知數(shù)列{an}中，a1∈，an＋1＝f(an)，求證：an＋1>8?lnan（n∈N*）。
           
          

          試題詳情
          

          一、選擇題：
          1．D  2．A 3  B 
4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A  10．B 
11.A  12.B
          二、填空題：
          13．12          14．    15   3          16．，①②③④     
          三、解答題：
          17．解：法（1）：①∵=(1+cosB，sinB)與=（0，1）所成的角為
          ∴與向量=（1，0）所成的角為                                                    
          ∴，即                                                   （2分）
          而B∈（0，π），∴，∴，∴B=。                               （4分）
          ②令A(yù)B=c，BC=a，AC=b
          ∵B=，∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=，∵a，c>0。            
（6分）
          ∴a2+c2≥，ac≤     （當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立）
          ∴12=a2+c2-ac≥                                           （8分）
          ∴(a+c)2≤48，∴a+c≤，∴a+b+c≤+=（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號）
          故ΔABC的周長的最大值為。                                                          （10分）
          法2：（1）cos<，>=cos
          ∴，                                                                                   （2分）
          即2cos2B+cosB-1=0，∴cosB=或cosB=-1（舍），而B∈（0，π），∴B=     （4分）
          （2）令A(yù)B=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周長為，則=a+c+
          而a=b?，c=b?                                     
（2分）
          ∴==
          =                                （8分）
          ∵A∈（0，），∴A-，
          當(dāng)且僅當(dāng)A=時，。                                        
（10分）
           18．解法一：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC
          ∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC
          （2）∵AB∥CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD=1
          ∴ΔADC為等邊三角形，且AC=1，取AC的中點(diǎn)O，則DO⊥AC，又PA⊥底面ABCD，
          ∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC，過O作OH⊥PC，垂足為H，連DH
          由三垂成定理知DH⊥PC，∴∠DHO為二面角D-PC-A的平面角
          由OH=，DO=，∴tan∠DHO==2
          ∴二面角D-PC-A的大小的正切值為2。
          （3）設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為d，又AB∥平面PCD
          ∴VA-PCD=VP-ACD，即
          ∴  即點(diǎn)B到平面PCD的距離為。
          19．解：（1）第一和第三次取球?qū)Φ谒拇螣o影響，計第四次摸紅球?yàn)槭录嗀
          ①第二次摸紅球，則第四次摸球時袋中有4紅球概率為
                                                                                      （2分）
          ②第二次摸白球，則第四次摸球時袋中有5紅2白，摸紅球概率為
                                                                                     （3分）
          ∴P(A)=，即第四次恰好摸到紅球的概率為。（6分）（注：無文字說明扣一分）
          （2）由題設(shè)可知ξ的所有可能取值為：ξ=0，1，2，3。P（ξ=0）=；
          P（ξ=1）=；P（ξ=2）=；
          P（ξ=3）=。故隨機(jī)變量ξ的分布列為：
          ξ
          0
          1
          2
          
  
            1. 
   
              
    
    
              
     
              
      
      
              
      
              （10分）
              P
              ∴Eξ=（個），故Eξ=（個）                                    （1
              20.解：（1），
              故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。
              ，…………………………………………4分
              （2），
              ①
              ②
              ②―①得，即③
              ④
              ④―③得，即
              所以數(shù)列是等差數(shù)列……………………9分
              （3）………………………………11分
              設(shè)，則 
              …………13分
              21．解：（1）設(shè)，.
              整理得AB：bx-ay-ab=0與原點(diǎn)距離，又，
              聯(lián)立上式解得b=1，∴c=2，.∴雙曲線方程為.
              （2）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）設(shè)CD中點(diǎn)M（x0，y0），
              ∴，∴|AC|=|AD|，∴AM⊥CD.
              聯(lián)立直線與雙曲線的方程得，整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，且.
              ∴ ，    ，
              ∴∴，∴AM⊥CD.
              ∴，整理得，
              則且k2>0，，代入中得.
              ∴.
              22．解：（1）∵(x)=3ax2+sinθx-2
              由題設(shè)可知：即∴sinθ=1。（2分）
              從而a=，∴f(x)=，而又由f(1)=得，c=
              ∴f(x)=即為所求。                                                     （4分）
              （2）(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在（-∞，-2）及（1，+∞）上均為增函數(shù)，在（-2，1）上為減函數(shù)。
              （i）當(dāng)m>1時，f(x)在[m，m+3]上遞增。故f(x)max=f(m+3)，f(x)min=f(m)
              由f(m+3)-f(m)=(m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-=3m2+12m+得-5≤m≤1。這與條件矛盾故舍。                                                                             （6分）
              （ii）當(dāng)0≤m≤1時，f(x)在[m，1]上遞減，在[1，m+3]上遞增。
              ∴f(x)min=f(1)，f(x)max={f(m)，f(m+3)}max
              又f(m+3)-f(m)=3m2+12m+=3(m+2)2->0（0≤m≤1），∴f(x)max=f(m+3)
              ∴|f(x1)-f(x2)| ≤f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1)
≤f(4)-f(1)=恒成立
              故當(dāng)0≤m≤1原式恒成立。                                                                       （8分）
              綜上：存在m且m∈[0，1]合乎題意。                                                   （9分）
              （3）∵a1∈(0，1，∴a2∈，故a2>2
              假設(shè)n=k（k≥2，k∈N*）時，ak>2。則ak+1=f(ak)>f(2)=8>2
              故對于一切n（n≥2，n∈N*）均有an>2成立。                                    （11分）
              令g(x)=
              得=
              當(dāng)x∈（0，2）時(x)<0，x∈（2，+∞）時，(x)>0，
              ∴g(x)在x∈[2，+∞時為增函數(shù)。
              而g(2)=8-8ln2>0，即當(dāng)x∈[2，+∞時，g(x)≥g(2)>0恒成立。
              ∴g(an)>0，（n≥2）也恒成立。即：an+1>8lnan（n≥2）恒成立。
              而當(dāng)n=1時，a2=8，而8lna1≤0，∴a2>8lna1顯然成立。
              綜上：對一切n∈N*均有an+1>8lnan成立。                              
               
               
               
               
              
				
	



              
	



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