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1、利用平面直角坐標(biāo)系，可以把平面圖形與坐標(biāo)建立對應(yīng)關(guān)系，如圖：

2、回憶以前學(xué)習(xí)的直線與圓、圓錐曲線等說明

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1、曲線與方程概念

一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果其曲線c上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；

（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。

那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.。此時表示為曲線C:f(x,y)=0

2、點在曲線上的充要條件：

如果曲線C的方程是f（x,y）=0，那么點P₀（x₀,y₀）在曲線C上的充要條件是f (x₀,y₀)=0

三、數(shù)學(xué)運用

例1 判斷點是否在圓上。

解：把點的坐標(biāo)代入方程，可以發(fā)現(xiàn)，點的坐標(biāo)是方程的解，點在圓上，而不滿足方程，不在圓上。

變式：已知P₁（x₁,y₁）是直線l：f（x,y）=0上一點，P₂（x₂,y₂）是直線l外一點

所表示的直線與l的關(guān)系是           （平行）

例2 已知一座圓拱橋的跨度是36m，圓拱為6m，以圓拱所對的弦AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，求圓拱的方程。

解：設(shè)圓心，圓拱上任一點P(x,y)，滿足，即

即

因為點在圓上，所以

  解得

所以圓拱的方程是

練習(xí)1、方程(x²-4)²+(y²-4)²=0表示的圖形是______________（四個點）

練習(xí)2、教材P55-----1~5

例3 、方程x²-y²+2x+4y+k=0能否表示兩條直線的方程，若可以，求出兩直線方程，若不行說明理由。

解：[方法一]要表示直線，必須能夠?qū)懗蓛蓚�一次方程的乘積，于是設(shè)為

(x-ay+b)(x-cy+d)=0,即x²-(c+a)x+acy²+(b+d)x-(da+bc)y+bd=0，而左邊為x²-y²+2x+4y+k；于是，解出方程為(x-y+3)(x+y-1)=0于是直線方程為x-y+3=0,x+y-1=0

    [方法二]將原方程整理成關(guān)于x的一元二次方程x²+2x-y²+4y+k=0,其解為x=要表示直線，△₁=4(y²-4y-k+1)是完全平方式，于是y²-4y-k+1=0有兩個相等實數(shù)解，△₂=16-4(1-k)=0,k=-3。此時△₁=4(y-2)²,x=-1±(y-2),于是將原式分解因式得(x-y+3)(x+y-1)=0于是直線方程為x-y+3=0,x+y-1=0

（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；

（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。

那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。表示曲線C:f(x,y)=0

2、如果曲線C的方程是f（x,y）=0，那么點P₀（x₀,y₀）在曲線C上的充要條件是f (x₀,y₀)=0

3、說一個點的軌跡是指的圖形，一般要使之惟一化

五、布置作業(yè)：教材P56----1~4

[補充習(xí)題]

1、在直角坐標(biāo)系中，方程(x+y-1)(-y)=0所表示的曲線形狀是__________

2、滿足方程F(x,y)=0的點都在曲線C上，則下列命題正確的是___________________

A,曲線C上的點的坐標(biāo)都適合方程F(x,y)=0  B,不在曲線C上的點的坐標(biāo)必不適合方程F(x,y)=0

C,凡是不適合方程F(x,y)=0的點都不在C上  D,曲線C是滿足條件F(x,y)=0的點的軌跡

3、已知兩點M(1,),N(-4, ),給出下列曲線方程：①4x+2y-1=0;②x²-y²=0;③+y²=1;④-y²=1,其中在曲線上存在點P，使MP=NP的曲線方程有_________________

4、(1)求方程4x²-y²+6x-3y=0表示的曲線軌跡

(2)方程(x-y)²+(xy-1)²=0的表示的圖形是什么？

[答案]

1、一條線段和半個圓

2、B

3、①②④

4、(1)表示兩條直線2x-y=0和2x+y+3=0;(2)兩個點(1,1)和（-1，-1）

[教后感想與作業(yè)情況]

2.6.2求曲線的方程

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點]求曲線方程的一般步驟

[教學(xué)難點]求曲線的方程。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回顧：

師：上一節(jié)，我們已經(jīng)建立了曲線的方程.方程的曲線的概念.利用這兩個重要概念，就可以借助于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點，把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐標(biāo)（x,y）所滿足的方程f(x,y)=0表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì).這一節(jié)，我們就來學(xué)習(xí)這一方法.

引例:長為（是正常數(shù)）的線段AB的兩端點分別在互相垂直的兩條直線上滑動，求線段AB中點M的軌跡。

解：分別以兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖

因為是直角三角形，M是AB的中點，所以

即

兩邊平方得   (*)

這樣，曲線上任意一點的坐標(biāo)都是方程*的解，

反之，滿足方程解的任意一點，必定滿足，從而OM=a=AB,M為AB的中點，即M在曲線上

從而，方程就是點M的軌跡方程

思考：求曲線（圖形）的方程，一般有哪幾個步驟組成？

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（常堅持坐標(biāo)值多出現(xiàn)0和多出現(xiàn)對稱的原則展開進(jìn)行坐標(biāo)系，術(shù)語：以…為x軸，以…為y軸（或原點），建立直角坐標(biāo)系）

（2）設(shè)（x,y）表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)，并寫出適合條件P的點M的集合P={M|P（M）}；

（3）用坐標(biāo)代入條件P（M），列出方程f(x,y)=0;

（4）化方程f(x,y)=0為最簡形式；

（5）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.

思考2：這些步驟能否簡化？關(guān)鍵是什么？

一般情況下，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫，如有特殊情況，一般需要再第三步處加條件限制，使之每步等價，這一條件一直延伸到最后，所以其步驟可以簡化為“建――設(shè)――限――代――化”

思考3：這一過程的關(guān)鍵思想是什么？

借助坐標(biāo)系研究幾何問題，將這種方法稱坐標(biāo)法，數(shù)學(xué)中可以用坐標(biāo)法研究幾何問題，反過來，方程也可以通過坐標(biāo)法來體現(xiàn)，這種以坐標(biāo)法為核心的思想稱解析幾何思想，平面解析幾何研究的主要問題是：（1）代數(shù)問題反應(yīng)幾何性質(zhì)；（2）幾何性質(zhì)用代數(shù)坐標(biāo)加以體現(xiàn)

課本57頁練習(xí)1，2

三、數(shù)學(xué)運用

例1、求平面內(nèi)到兩個定點A,B得距離之比等于2得動點M的軌跡方程。

解：以A,B所在直線為軸，線段AB的垂直平分線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，令，則A,B兩點的坐標(biāo)分別為。

設(shè)M點坐標(biāo)為，依題意，點M滿足

化簡整理得。

所以動點M的軌跡方程為

   例2、△AOB中，∠AOB=,AB在直線l:x=3上移動，求三角形AOB外心的軌跡方程

解：設(shè)M(x,y),過M作MH⊥AB于H,則∠AMB=,M滿足的條件集合為{M|MH=MA=MO,M在三角形AOB內(nèi)}，3-x=(x<3),即3(x-4)²-y²=12(x≤2)

     例3、正方形ABCD中，AB、BC各邊上有一個動點Q、R，且BQ=CR，求AQ與DQ交點P的軌跡方程

解：以A為原點，為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y),AQ=t,則DQ:,AR:y=,點(x,y)在第一象限,消去t得：x²+y²-ay=0(x≥0,y≥0)即為點P的軌跡方程

說明：如果有必要，可以先設(shè)一個變量，將x,y與此變量的關(guān)系寫出，再消去此變量，得到x,y滿足的方程

五、作業(yè)：教材P58----1~4

[補充習(xí)題]

1、拋物線y=x²-2cosθ.x+1(θ∈R)的頂點軌跡方程為____________

2、已知三角形ABC的面積為3，且兩個頂點為A(0,2),B(3,6),則頂點C的軌跡方程為________

3、與y軸相切，且和曲線x²+y²=4(0≤x≤2)相內(nèi)切的動圓圓心的軌跡方程是_________

4、三角形ABP中，A(-1,0),B(2,0),且∠PBA=2∠PAB，求動點P的軌跡方程

[答案]

1、y=1-x²(-1≤x≤1)

2、4x-3y=0或4x-3y+12=0

3、y²=-4(x-1)(0<x<1)

4、x²-=1(x>1)

[教后感想與作業(yè)情況]

                        2.6.3求曲線的交點（1）

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點、難點]求兩曲線交點坐標(biāo)

[教學(xué)過程]

P(x₀,y₀)是C₁與C₂的交點

所以，求兩曲線的交點就是求方程組的實數(shù)解

練習(xí)：教材P60-----練習(xí)題

例1、已知探照燈的軸截面是拋物線y²=x，平行于x軸的光線照射到拋物線上的點P(1,-1),反射光線過拋物線的焦點后又照射到拋物線上的Q點，試確定Q點的坐標(biāo)

解：由已知，拋物線的焦點F(,0),直線PF的方程為y=-(x-),解混合組得Q(,)

說明：注意有條件限制時的方程組的解出現(xiàn)增根的情況

例2、在長、寬分別為10m,18m的矩形地塊內(nèi)，欲開鑿一花邊水池，池邊由兩個橢圓組成，試確定兩個橢圓的四個交點的位置。

解：以矩形的中心為原點，平行于10的一邊為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，易求出兩個橢圓的方程為，，解二者聯(lián)立的方程組，得x²=5,y²=,從而得到兩個橢圓的交點為四個(,),(,-),(-,),(-,-)

說明：遇到二元二次方程，必要時可以先解x²,y²,再解x,y

例3、當(dāng)a變化時，直線l₁:(2a+b)x+(a+b)y+(a-b)=0與直線l₂:m²x+2y+n=0都過一定點，問點(m,n)在什么曲線上？（教材P64---14）

解：l₁:a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0表示過2x+y+1=0與x+y-1=0的交點(-2,3),此點又在l₂:上，從而-2m²+6+n=0,故(m,n)在此拋物線上

說明:一般的af₁(x,y)+bf₂(x,y)=0(a,b不全為0)過f₁(x,y)=0與f₂(x,y)=0的交點；一般的，a≠0時，設(shè)=λ，于是，曲線f₁(x,y)+λf₂(x,y)=0過f₁(x,y)=0與f₂(x,y)=0的交點。

例4、已知△ABC中，A(-2,0),B(0,-2),第三個頂點C在y=3x²-1上移動，求三角形ABC重心G的軌跡方程

解：設(shè)G(x,y),C(x₁,y₁),于是，y₁=3x₁²-1從而y=9x²+12x+3.又點C不在直線AB:x+y+2=0上，從而(3x+2)+(3y+2)+2≠0即x+y+2≠0，而x+y+2=0與y=9x²+12x+3聯(lián)立無交點   ∴重心G的軌跡方程為y=9x²+12x+3

說明：注意檢驗，去掉不滿足條件的點

[補充習(xí)題]

1、點P在曲線y=x²上移動，Q(0,-1)，則 PQ中點M的軌跡方程是_____________

2、過點(2,1)引直線和x軸、y軸分別交于B、C兩點，則BC中點的軌跡方程為_______

3、曲線x²+(y-1)²=4與直線y=k(x-2)+4公共點個數(shù)為兩個、一個、零個時，分別求k的范圍

4、點A(a,b)（a>0,b>0）是一個定點,B、C分別是x軸、y軸上的點，∠BAC=90⁰,A、O位于BC的兩側(cè)，求BC中點P的軌跡方程

[答案]

1、y=2x²-

2、2xy-x-2y=0

3、k>,k=,k<

4、2ax+2by=a²+b²(0≤x≤)

[教后感想與作業(yè)情況]

2.6.3求曲線的交點（2）

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)難點、重點]求含有參數(shù)的范圍

[教學(xué)過程]

例1、求直線y=x+被曲線y=x²截得的線段長

解：求出兩交點坐標(biāo)為(3,)、(-1,),線段長為4

 練習(xí)：當(dāng)k為何值時，曲線xy+(k-5)x+2=0和直線x-y-k=0的交點在第一象限？

例2、過點P(0,4)且與拋物線y²=16x只有一個公共點的直線有幾條，求出此直線方程

解：斜率不存在時，直線為x=0,滿足條件；斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+4,將拋物線方程x=代入得到y(tǒng)=+4即ky²-16y+64=0,△=(-16)²-4k×64=0,k=1,方程為x-y+4=0∴這樣的直線存在兩條，分別為x=0和x-y+4=0

說明：必要時要考慮圖形，數(shù)形結(jié)合來考慮實際問題；注意交點個數(shù)需要消去誰。

變式：在什么情況下，直線與拋物線有公共點？

例3、一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，其方程是x²=2y(0≤y≤20)。在杯中放一個玻璃球，要使球接觸及酒杯底部，那么玻璃球的半徑r應(yīng)滿足什么條件？（教材P61―8）

解：設(shè)圓的方程為x²+(y-r)²=r²(r>0),與拋物線聯(lián)立解得y₁=0,y₂=2(r-1)依題意r-1≤0，∴0<r≤1

補充習(xí)題

1、曲線y=|x|+1與y=|x²-1|交點的個數(shù)為__________

2、直線y=x+b與曲線y=有兩個公共點，則b的范圍是__________

3、直線y=kx+1與橢圓恒有公共點，則m的范圍是___________

4、點M在直線l:x+y+1=0上，在直線OM上取點P，使OP=2OM,求動點P的軌跡

5、射線OA,OB的方程分別為y=x,y=-x,(x≥0)點C、D分別在OA、OB上滑動，且CD=4，求線段CD的中點P的軌跡方程

[答案]1、3；   2、；  3、m≥1且m≠5；   4、x+y±2=0；  5、,x≥

[教后感想與作業(yè)情況]