2008屆廣州執(zhí)信中學(xué).中山紀(jì)念中學(xué).深圳外國語學(xué)校三校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題本試卷試題部分4頁.答題卷部分4頁.共8頁.21小題.滿分150分.考試時間為120分鐘．——青夏教育精英家教網(wǎng)—

1．設(shè)全集U=R，A={x∈N?1≤x≤10}，B={ x∈R?x²+ x－6=0}，則下圖中陰影表示的集合為（）

A．{2} B．{3}

C．{－3，2} D．{－2，3}

2．已知命題p: xR，cosx≤1，則（）

A． B． x∈R，cos x≥1

C． D． x∈R，cos x＞1

3.若復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的

值為（）

A、-6 B、13 C. D.

4.若的展開式中的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)的值

是　（）

A．-2　　 B. 　C. 　D. 2

5、給出下面的程序框圖，那么輸出的數(shù)是（）

A．2450 B. 2550 C. 5050 D. 4900

1,3,5

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若點(diǎn)是該目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，則a的取值范圍是（）

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C． D．

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7．若函數(shù)的圖象在x=0處的切線l與圓

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C: 相離，則P(a，b)與圓C的位置關(guān)系是（）

A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不能確定

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8．某種游戲中，黑、黃兩個“電子狗”從棱長為1的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的頂點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”．黑“電子狗”爬行的路線是，黃“電子狗”爬行的路線是，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i＋2段與第i段所在直線必須是異面直線（其中i是正整數(shù)）．設(shè)黑“電子狗”爬完2008段、黃“電子狗”爬完2007段后各自停止在正方體的某個頂點(diǎn)處，這時黑、黃“電子狗”間的距離是（）

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A． 0 B．1 C． D．

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二、填空題：（本大題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填寫在題橫線上）.

9．由曲線所圍成的封閉圖形的面積為_________

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10．在平面直角坐標(biāo)系xoy中已知△ABC的頂點(diǎn)A(－6，0) 和C(6，0)，頂點(diǎn)B在雙曲線的左支上，

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11．如圖，將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）……

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試用 n表示出第n個圖形的邊數(shù) .

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12、三位同學(xué)在研究函數(shù) f (x) = (x∈R) 時，分別給出下面三個結(jié)論：
① 函數(shù) f (x) 的值域?yàn)?(－1,1)
② 若x₁≠x₂，則一定有f (x₁)≠f (x₂)
③ 若規(guī)定 f₁(x) = f (x)，f_n₊₁(x) = f [ f_n(x)]，則 f_n(x) = 對任意 n∈N^*恒成立. 你認(rèn)為上述三個結(jié)論中正確的個數(shù)有

▲選做題：在下面三道題中選做兩題，三題都選的只計(jì)算前兩題的得分。

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　13、如圖，圓 O 的割線 PBA 過圓心 O，弦 CD 交 PA 于點(diǎn)F，且△COF∽△PDF，PB = OA = 2，則PF = 。

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14、極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到直線：的距離是　　　　．

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15、不等式的解集是

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三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16、（本小題滿分14分）在中，已知內(nèi)角，邊.設(shè)內(nèi)角,面積為.

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(1) 求函數(shù)的解析式和定義域；

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(2) 求的最大值.

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17．（本小題滿分12分）

旅游公司為3個旅游團(tuán)提供4條旅游線路，每個旅游團(tuán)任選其中一條.

（1）求3個旅游團(tuán)選擇3條不同的線路的概率

（2）求恰有2條線路沒有被選擇的概率.

（3）求選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)的期望.

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18．（本小題滿分12分）

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如圖，直四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的高為3，底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中點(diǎn).

（1）求二面角O₁－BC－D的大��；

（2）求點(diǎn)E到平面O₁BC的距離.

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19．（本小題滿分14分）

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設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).

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（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.

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20．（本小題滿分14分）

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設(shè)函數(shù)

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（Ⅰ）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

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（Ⅱ）當(dāng)p＞0時，若對任意的x＞0，恒有，求p的取值范圍；

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（Ⅲ）證明：

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21、（本小題滿分14分）

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已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，記

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（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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（2）設(shè)，若，求的最小值；

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（3）求使不等式對一切均成立的最大實(shí)數(shù).

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2008屆廣州執(zhí)信中學(xué)、中山紀(jì)念中學(xué)、深圳外國語學(xué)校

三校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)答題卷

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二、填空題：（本大題共須作6小題，每小題5分，共30分，把答案填寫在題橫線上）

9、 10、 11、

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12、 13、 14、

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15、

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三、解答題（本大題共6小題，共80分）

16、

17、

18

19、

20、

21、

2008屆廣州執(zhí)信中學(xué)、中山紀(jì)念中學(xué)、深圳外國語學(xué)校

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一、選擇題（本大題8小題，共40分，每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

A

D

A

B

二、填空題：（本大題共須作6小題，每小題5分，共30分，把答案填寫在題橫線上）.

9、 10、 11、 12、3

▲選做題：在下面三道題中選做兩題，三題都選的只計(jì)算前兩題的得分。

　13、3 ；14、�！　�； 15、

三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16、（本小題滿分14分）解：（1）的內(nèi)角和

…………………1分

……………5分

…………………7分

（2）……………9分

…………12分

當(dāng)即時，y取得最大值 ………………………14分

17．（本小題滿分12分）

解：（1）3個旅游團(tuán)選擇3條不同線路的概率為：P₁=…………3分

（2）恰有兩條線路沒有被選擇的概率為：P₂=……6分

（3）設(shè)選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3………………7分

P（ξ=0）= P（ξ=1）=

P（ξ=2）= P（ξ=3）= ………………9分

∴ξ的分布列為：

ξ

0

1

2

3

………………10分

∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=………………12分

18．（本小題滿分12分）

（1）過O作OF⊥BC于F，連接O₁F，

∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F，

∴∠O₁FO是二面角O₁－BC－D的平面角，………………3分

∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=.

在Rt△O₁OF在，tan∠O₁FO=

∴∠O₁FO=60° 即二面角O₁―BC―D為60°………………6分

（2）在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位線，∴OE∥O₁C

∴OE∥O₁BC，∵BC⊥面O₁OF，∴面O₁BC⊥面O₁OF，交線O₁F.

過O作OH⊥O₁F于H，則OH是點(diǎn)O到面O₁BC的距離，………………10分

解法二：（1）∵OO₁⊥平面AC，

∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，又OA⊥OB，………………2分

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（如圖）

∵底面ABCD是邊長為4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2，OB=2，

則A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O₁（0，0，3）………………3分

設(shè)平面O₁BC的法向量為=（x，y，z），

則⊥，⊥，

∴，則z=2，則x=－，y=3，

∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）………………5分

∴cos<，>=，

設(shè)O₁－BC－D的平面角為α， ∴cosα=∴α=60°.

故二面角O₁－BC－D為60°. ………………6分

（2）設(shè)點(diǎn)E到平面O₁BC的距離為d，

∵E是O₁A的中點(diǎn)，∴=（－，0，），………………9分

則d=∴點(diǎn)E到面O₁BC的距離等于�！�12分

19．（本小題滿分14分）解：易知 …………2分

設(shè)P（x，y），則

………………4分

，

，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時，有最小值3；

當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時，有最大值4 ……6分

（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k

直線l的方程為 ……………………8分

由方程組

依題意 …………10分

當(dāng)時，設(shè)交點(diǎn)C，CD的中點(diǎn)為R，

則

又|F₂C|=|F₂D|

…………13分

∴20k²=20k²－4，而20k²=20k²－4不成立，所以不存在直線，使得|F₂C|=|F₂D|

綜上所述，不存在直線l，使得|F₂C|=|F₂D| …………14分

20．（本小題滿分14分）解：（1），

…………2分

當(dāng) 上無極值點(diǎn) …………3分

當(dāng)p>0時，令的變化情況如下表：

x

(0，)

+

0

－

ㄊ

極大值

ㄋ

從上表可以看出：當(dāng)p>0 時，有唯一的極大值點(diǎn) ………………7分

（Ⅱ）當(dāng)p>0時在處取得極大值，此極大值也是最大值，

要使恒成立，只需， ∴

∴p的取值范圍為[1，+∞ …………………10分

（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，

∴，

∴ …………11分

∴

…………12分

∴結(jié)論成立 …………………14分

21、解：（1）由題意得，解得，………………2分

………………4分

（2）由（1）得， ①

② ①-②得

. ，………………6分

設(shè)，則由得隨的增大而減小時，又恒成立，………………9分

（3）由題意得恒成立

記，則

………………12分

是隨的增大而增大

的最小值為，，即. ………………14分

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