廣東省2007―2008學(xué)年第一學(xué)期期末高三五校聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題（理科）
第一部分 選擇題（共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．
1．若集合，，則=
A． B． C． D．
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，則的值等于
A． B．1 C．2 D．3
4．已知三條不重合的直線m、n、l，兩個(gè)不重合的平面，有下列命題
①若； ②若；
③若； ④若；
其中正確的命題個(gè)數(shù)是
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，，，則數(shù)列前10項(xiàng)的和等于
A.55 B.70 C.85 D.100
6．定義行列式運(yùn)算=. 將函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為
A． B． C． D．
7．定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，且，則的值為
A． B． C．0 D．1
8．對(duì)任意正整數(shù)，定義的雙階乘如下：
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，`
現(xiàn)有四個(gè)命題：①， ②，
③個(gè)位數(shù)為0， ④個(gè)位數(shù)為5
其中正確的個(gè)數(shù)為
A.1 B.2 C.3 D.4
第二部分 非選擇題（共110分）
二、填空題：本大題共7小題，其中9～12題是必做題,13～15題是選做題. 每小題5分，滿分30分.
9．若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則的值為 ．
11．在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1，
則；類比此性質(zhì)，如圖，在四
面體P―ABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，底
面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為 ；
12．某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把名使用血清的人與另外名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用列聯(lián)表計(jì)算得，經(jīng)查對(duì)臨界值表知．
對(duì)此，四名同學(xué)做出了以下的判斷：
p：有的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”
q：若某人未使用該血清，那么他在一年中有的可能性得感冒
r：這種血清預(yù)防感冒的有效率為
s：這種血清預(yù)防感冒的有效率為
則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是 ．（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）
（1） p∧?q ； （2）?p∧q ；
(3)（?p∧?q）∧（r∨s）； （4）(p∨?r)∧(?q∨s)
▲選做題:在下面三道小題中選做兩題,三題都選的只計(jì)算前兩題的得分.
13．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 已知圓的極坐標(biāo)方程為，則該圓的圓心到直線 的距離是 .
14．（不等式選講選做題） 已知g(x)=|x-1|-|x-2|,則g(x)的值域?yàn)?u> ；
15．（幾何證明選講選做題） 如圖：PA與圓O相切于A，
PCB為圓O的割線，并且不過圓心O，已知∠BPA=，
PA=，PC=1，則圓O的半徑等于 ．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推證過程.
16．（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知a+b=5，c =，且 (1) 求角C的大�。� （2）求△ABC的面積.
17．（本小題滿分12分）一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：
（1）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；
（2）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
18．(本小題滿分14分) 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點(diǎn)。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖) .
(1) 當(dāng)x=2時(shí)，求證：BD⊥EG ；
(2) 若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；
(3) 當(dāng) f(x)取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值.
19．(本小題滿分14分) 橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1-e, 直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且．（1）求橢圓方程； （2）若，求m的取值范圍．
20．(本小題滿分14分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：（a為常數(shù)，且）． （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求a的值；
（Ⅲ）在滿足條件（Ⅱ）的情形下，設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn .
求證：．
21．(本小題滿分14分) 已知函數(shù)
（I）若 在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（II）在（I）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)的最小值；
（III）設(shè)函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M、N，問是否存在點(diǎn)R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
2007―2008學(xué)年第一學(xué)期期末高三五校聯(lián)考
數(shù)學(xué)科（理科）試題答案
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
D
B
C
C
D
C
一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）
1、解析： B．本題考查了定義域及交集運(yùn)算
={-1＜x＜1}, N={0≤x＜1}
2． 解析：B．本題考查了復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算
原式=
3．解析：D．本題考查了函數(shù)概念及分段函數(shù)
4．解析：B．本題考查了直線和平面的基本位置關(guān)系．
②，④正確；①，③錯(cuò)誤
5．解析：C．本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和計(jì)算．
因此，數(shù)列 也是等差數(shù)列，并且前10項(xiàng)和等于：
6． 解析：C．本題考查了信息的處理、遷移和應(yīng)用能力以及三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)．
7． 解析：D．本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性和周期性．
由，得，因此，是周期函數(shù)，并且周期是３
，＝
8．解析：C．本題考查了信息處理和應(yīng)用能力．
因?yàn)?nbsp;
所以，有
因此，①，③，④正確；②錯(cuò)誤
第二部分 非選擇題（共110分）
二、填空題：本大題共7小題，其中9～12題是必做題,13～15題是選做題. 每小題5分，滿分30分.
9． 解析：６．本題考查了拋物線和雙曲線的有關(guān)基本知識(shí)．
雙曲線的右焦點(diǎn)F（3,0）是拋物線的焦點(diǎn)，所以，，p=6
10．解析：－192．本題考查了簡(jiǎn)單定積分的計(jì)算以及求二項(xiàng)式展開式的指定項(xiàng)的基本方法．
＝=2 , T=(-1) ()()=(-1) 2x
11．解析：．本題考查了合情推理的能力．
連接CO且延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，連PD，
由已知PC⊥PD，在直角三角形PDC中，DC?h＝PD?PC，
即，
容易知道 AB⊥平面PDC，所以AB⊥PD，
在直角三角形APB中，AB?PD＝PA?PB，所以，
，故。
（也可以由等體積法得到）
12．解析：（1）（4）．本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及常用邏輯用語．由題意，得，，所以，只有第一位同學(xué)的判斷正確，即：有的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”．由真值表知（1）（4）為真命題．
▲選做題:在下面三道小題中選做兩題,三題都選的只計(jì)算前兩題的得分.（其中14題第一空3分，第二空2分）
13．解析：．本題考查了簡(jiǎn)單的直線和圓的極坐標(biāo)方程以及它們的基本知識(shí)．
直線 化為直角坐標(biāo)方程是2x+y-1=0; 圓的圓心（１，０）
到直線2x+y-1=0的距離是
14． 解析： [－１，１] ； ．本題考查絕對(duì)值的意義，含參絕對(duì)值不等式的解法．
當(dāng)x≤1時(shí)，g(x)=|x-1|-|x-2|=-1
當(dāng)１＜x≤２時(shí)，g(x)=|x-1|-|x-2|=2x-3,所以-１<≤1
當(dāng)x＞２時(shí)，g(x)=|x-1|-|x-2|=1
綜合以上，知-1≤g(x) ≤1。
（此結(jié)果也可以由絕對(duì)值的幾何意義直接得出）
所以 .
15．解析：7．本題考查了圓和切線的基本知識(shí)．
交圓于點(diǎn)E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J記圓的半徑為R,由于ED?DA=CD?DB
因此，(２R－２) ?2=3?8,解得R=7
三、解答題：
16．（本小題滿分12分）
(1) 解：∵A+B+C=180°
由 …………1分
∴ ………………3分
整理，得 …………4分
解 得： ……5分
∵ ∴C=60° ………………6分
（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab …………7分
∴ ………………8分
由條件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分
……10分
∴ …………12分
17．（本小題滿分12分）
解：（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知 ………………………………………………………………4分
（2）ξ可取1，2，3，4.
，
； …………8分
故ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
P
……………………………………………………………10分
答：ξ的數(shù)學(xué)期望為 ………………………………………………………………12分
18．（本小題滿分14分）
解:（1）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz�！� 1分
則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）…………2分
（－2，2，2），（2，2，0）…………………………………………………3分
（法二）作DH⊥EF于H，連BH，GH，……………1分
由平面平面知：DH⊥平面EBCF，
而EG平面EBCF，故EG⊥DH。
又四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH，
BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，………………… 3分
而BD平面DBH，∴ EG⊥BD�！� 4分
（或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果）
（2）∵AD∥面BFC，
所以 VA-BFC＝＝4(4-x)x
………………………………………………………………………7分
即時(shí)有最大值為�！�8分
（3）（法一）設(shè)平面DBF的法向量為，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），
_ E 則 ， 即， 取x＝3，則y＝2，z＝1，∴ 面BCF的一個(gè)法向量為
……………………………12分 則cos<>= …………………………………………13分 由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為－ ………………………………………………………………………………14分 （法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，連DM。 由三垂線定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補(bǔ)角。
………………………………………………………………9分 由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。 又DH＝2， ∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-， 因∠DMH為銳角，∴cos∠DMH＝， ………………………………13分 而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補(bǔ)角， 故二面角D-BF-C的余弦值為－。 ………………………………14分 19．（本小題滿分14分） 解：（1）設(shè)C：＋＝1（a>b>0），設(shè)c>0，c2＝a2－b2，由條件知a-c＝，＝， ∴a＝1，b＝c＝， 故C的方程為：y2＋＝1 ………………………………………4分 （2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ， ∴λ＋1＝4，λ＝3
………………………………………………6分 設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0 Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*） x1＋x2＝， x1x2＝ ………………………………………………9分 ∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴ 消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0 ………………………………………………11分 m2＝時(shí)，上式不成立；m2≠時(shí)，k2＝， 因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1 容易驗(yàn)證k2>2m2－2成立，所以（*）成立 即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1） ………………………14分 20．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）∴ 當(dāng)時(shí)， ，即是等比數(shù)列． ∴；
……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若為等比數(shù)列， 則有而 故，解得， ………………………………7分 再將代入得成立， 所以． ………………………………………………………………8分 （III）證明：由（Ⅱ）知，所以 ， ………………………………………………… 9分 由得 所以， …………………… 12分 從而 ． 即．
…………………………14分 21．解：（I）依題意： 在（0,+）上是增函數(shù)， 對(duì)x∈（0,+）恒成立， …………2分 …………4分 （II）設(shè) 當(dāng)t=1時(shí)，ym I n=b+1； …………6分 當(dāng)t=2時(shí)，ym I n=4+2b …………8分 當(dāng)?shù)淖钚≈禐?nbsp; …………9分 （III）設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是 則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為 C1在點(diǎn)M處的切線斜率為 C2在點(diǎn)N處的切線斜率為 …………10分 假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則 ……………11分 設(shè) ……………… ①
…………12分 這與①矛盾，假設(shè)不成立. 故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行. …………14分 百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表 湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
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