Question

在ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F.

（1）在圖1中，證明CE=CF；
（2）若，∠BAD=90°， G是EF的中點(diǎn)（如圖2），連結(jié)OG，判斷OG與BD的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（3）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，連結(jié)OG（如圖3），判斷OG與BD的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

Answer 1

（1）通過(guò)證明∠BAE=∠DAF從而得出EC=FC
（2）OG=BD,  OG⊥BD
（3）BD=OG, OG⊥BD

試題分析：（1）在平行四邊形ABCD中，AD∥BC,AB∥CD, ∴∠DAF="∠CEF," ∠BAE=∠DFE,
∵∠BAE="∠DAF," ∴EC=FC （運(yùn)用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可。）
（2）證明：連結(jié)BG,DG,

易知在Rt△ABE中∠BAE=45°，
所以BE=AB
∵BE=AB=DC,EG=CG,∠BEG=135°=∠DCG
∴△BEG≌△DCG，所以BG=DG
∴∠BGE=∠DGC
∴∠BGD=∠EGC=90°
∴△BDG是等腰直角三角形
∴∠BDG=45°
∴根據(jù)等腰三角形三線合一可得 OG=BD,  OG⊥BD    
（3） 證明：連BG、CG

易證四邊形CEGF是菱形
又∠ABC=120°
∴EG=CG
又∠BEG=120°=∠DCG，BE=AB=DC
∴△BEG≌△DCG
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC
∴∠BGD=∠EGC=60°
∴△BGD是等邊三角形
∴∠BDG=60°   
所以，根據(jù)三線合一可知OG⊥BD。在Rt△DEG中，OD=，又因?yàn)锽D=2OD，所以：BD=OG
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判斷及性質(zhì)綜合運(yùn)用能力，注意數(shù)形結(jié)合應(yīng)用，作輔助線構(gòu)成全等三角形為解題關(guān)鍵。