Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為B、D，AD與BC相交于E點(diǎn)，已知：A（-2，-6），C（1，-3），一拋物線經(jīng)過A，E，C三點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖2，如果AB位置不變，將DC向右平移k（k＞0）個(gè)單位，求△AEC的面積S關(guān)于k的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在第（2）問中，是否存在k的值，使AD⊥BC？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）由題意知B（-2，0）、D（1，0），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
將A（-2，-6）、D（1，0）的坐標(biāo)代入，
解得k=2，b=-2，
∴直線BC的解析式為y=-x-2；
同理求得直線AD的解析式為y=2x-2，
解方程組

y=2x-2 y=-x-2

．
得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-2），
（用其它方法求得點(diǎn)E的坐標(biāo)可參考得分）
設(shè)經(jīng)過A，E，C三點(diǎn)的此拋物線表達(dá)式為y=ax²+bx+c，
則

4a-2b+c=-6 c=-2 a+b+c=-3

，
∴

a=-1 b=0 c=-2

，
∴y=-x²-2．

（2）由題意得D（k+1，0），C（k+1，-3），BD=k+3，
∵AB、CD都垂直于x軸，
∴△ABE∽△DCE，
且SABDC=

9

2

(k+3)，
作EF⊥AB于F，EG⊥CD于G，則
EF=

2

3

(k+3)，
EG=

1

3

(k+3)，
∴S_ABE+S_CDE=

5

2

（k+3）
∴S=

1

2

(SABDC-SABE-SCDE)=k+3．

（3）由（2）知EF=

2

3

(k+3)，
∵△ABE∽△DCE，
∴

AE

ED

=

AB

DC

=

2

1

，
∵EF∥x軸，
∴

AF

FB

=

2

1

，
∴AF=4，BF=2，
當(dāng)AD⊥BC時(shí)，由EF⊥AB得△BEF∽△AFE，
∴EF²=BF•AF=8，
∴EF=2

2

（負(fù)根舍去）
∴

2

3

(k+3)=2

2

，k=3

2

-3．