Question

如圖，拋物線y=ax²-5ax+4經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；
（3）探究：若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上且在x軸下方的動(dòng)點(diǎn)，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）拋物線的對(duì)稱軸x=-

-5a

2a

=

5

2

；（2分）

（2）由拋物線y=ax²-5ax+4可知C（0，4），對(duì)稱軸x=-

-5a

2a

=

5

2

，
∴BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，
∴A（-3，0）B（5，4）C（0，4）（5分）
把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=ax²-5ax+4中，
解得a=-

1

6

，（6）
∴y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．（7分）

（3）存在符合條件的點(diǎn)P共有3個(gè)．以下分三類情形探索．
設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于N，與CB交于M．
過點(diǎn)B作BQ⊥x軸于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=

5

2

．
①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個(gè)：△P₁AB．
∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80（8分）
在Rt△ANP₁中，P₁N=

AP12-AN2

=

AB2-AN2

=

80-(5.5)2

=

199

2

，
∴P₁（

5

2

，-

199

2

）．（9分）
②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個(gè)：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中MP₂=

B P 22 -BM2

=

AB2-BM2

=

80- 25 4

=

295

2

，（10分）
∴P₂=（

5

2

，

8- 295

2

）．（11分）
③以AB為底，頂角為角P的△PAB有1個(gè)，即△P₃AB．
畫AB的垂直平分線交拋物線對(duì)稱軸于P₃，此時(shí)平分線必過等腰△ABC的頂點(diǎn)C．
過點(diǎn)P₃作P₃K垂直y軸，垂足為K，
∵∠CJF=∠AOF，∠CFJ=∠AFO，
∴∠P₃CK=∠BAQ，∠CKP₃=∠AQB，
∴Rt_△P₃CK∽Rt_△BAQ．
∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．
∵P₃K=2.5
∴CK=5于是OK=1，（13分）
∴P₃（2.5，-1）．（14分）