Question

如圖，矩形ABCD的頂點A、D在拋物線y=-

2

3

x2+

8

3

x上，B、C在x軸的正半軸上，且矩形始終在拋物線與x軸圍成的區(qū)域里．
（1）設(shè)點A的橫坐標為x，試求矩形的周長P關(guān)于變量x的函數(shù)表達式；
（2）當(dāng)點A運動到什么位置時，相應(yīng)矩形的周長最大？最大周長是多少？
（3）在上述這些矩形中是否存在這樣一個矩形，它的周長為7？若存在，求出該矩形的各頂點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）令y=0，得-

2

3

x2+

8

3

x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
∴E（4，0）；（2分）
∴P=2[-

2

3

x2+

8

3

x+(4-2x)]=-

4

3

x2+

4

3

x+8，（2分）
即P=-

4

3

x2+

4

3

x+8．

（2）∵P=-

4

3

x2+

4

3

x+8=-

4

3

(x-

1

2

)2+

25

3

（2分）
∴當(dāng)x=

1

2

時，P的最大值為

25

3

；（2分）
故當(dāng)點A運動到（

1

2

，

7

6

）時，矩形的周長最大，且最大值為

25

3

．

（3）存在；（1分）
當(dāng)P=7時，得-

4

3

x2+

4

3

x+8=7
即4x²-4x-3=0，
解得x1=-

1

2

，x2=

3

2

；（1分）
∵0＜x＜2，
∴x=

3

2

；
當(dāng)x=

3

2

時，y=

5

2

，
∴B(

3

2

，0)，C(

5

2

，0)，D(

5

2

，

5

2

)．（2分）