Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E.

(1)求證：點D是AB的中點.

(2)判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論.

(3)若⊙O的半徑為5，AB=12，求DE的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)DE與⊙O相切，證明見解析；(3)DE=4.8.

【解析】

（1）連接CD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得：CD⊥AB，再根據(jù)三線合一即可證出；

（2）連接OD，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得：OD∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得OD⊥DE，從而證出DE與⊙O相切；

（3）過點D作DF⊥BC于F，由三線合一可知：CD平分∠ACB，BD=AB=6，根據(jù)勾股定理可求出CD，根據(jù)△BDC的面積的兩種求法列方程，即可求出DF，從而求出DE.

解：(1)連接CD

∵BC為⊙O的直徑

∴CD⊥AB

∵BC=AC

∴AD=BD

即點D是AB的中點

(2) DE與⊙O相切 ，理由如下

連接OD

∵AD=BD，OB=OC

∴OD∥AC

∵DE⊥AC

∴OD⊥DE

∴DE與⊙O相切

(3)過點D作DF⊥BC于F，

∵BC=AC，CD⊥AB

∴CD平分∠ACB，BD=AB=6

∴DE=DF

∵⊙O的半徑為5

∴BC=10

根據(jù)勾股定理可得：CD=

∵S△BDC=BD·CD=BC·DF

∴×6×8=×10·DF

解得：DF=4.8

∴DE= DF=4.8