Question

【題目】如圖，在中，，CD是中線，，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F，DF與AC交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N．

如圖1，若，求證：；

如圖2，在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中：

探究三條線段AB，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

若，，求DN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；②

【解析】分析：（1）根據(jù)已知不難得到△ABC是等腰直角三角形，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，不難推出△DCE≌△DCF；

（2）①首先利用角的關(guān)系推理可得到∠F=∠CDE，結(jié)合圖形可得到△CDF∽△CED，再根據(jù)相似的性質(zhì)，以及線段的等量代換，即可得解；②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于G，則∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，結(jié)合①中的結(jié)論可得到CD的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)得到CG和DG的長(zhǎng)，接下來(lái)通過(guò)證明△CEN∽△GDN，可求出GN的長(zhǎng)，最后利用勾股定理即可得解.

詳解：證明：，，，

，，

，

在與中，，

≌，

；

解：，

，

，

，

∽，

，

即，

，，，

，

；

如圖，過(guò)D作于G，

則，，

當(dāng)，時(shí)，

由得，

在中，，

，，

∽，

，

，

．