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        1. 【題目】(1)【證法回顧】證明:三角形中位線定理.

          已知:如圖1,DE是△ABC的中位線.

          求證:   

          證明:添加輔助線:如圖1,在△ABC中,延長DE (D、E分別是AB、AC的中點)到點F,使得EF=DE,連接CF;

          請繼續(xù)完成證明過程:

          (2)【問題解決】

          如圖2,在正方形ABCD中,E為AD的中點,G、F分別為AB、CD邊上的點,若AG=2,DF=3,∠GEF=90°,求GF的長.

          (3)【拓展研究】

          如圖3,在四邊形ABCD中,∠A=105°,∠D=120°,E為AD的中點,G、F分別為AB、CD邊上的點,若AG=,DF=2,∠GEF=90°,求GF的長.

          【答案】(1)DE∥BC,DE=BC,證明見解析;(2)5; (3)

          【解析】(1)分析:根據(jù)三角形的中位線定理填寫即可;利用“邊角邊”證明△ADE和△CFE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠A=∠ECF,全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=CF,然后求出四邊形BCFD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明即可.(2)由,正方形性質(zhì)及EAD 中點得出△ADE≌△CFE,由全等三角形推出,EF垂直平分GH,從而求解.(3) 過點DAB的平行線交GE的延長線于點H,過HCD的垂線,垂足為P,連接HF,可證明△AEG≌△DEH,結(jié)合條件可得到△HPD為等腰直角三角形,可求得PF的長,在Rt△HFP中,可求得HF,則可求得GF的長.

          (1)DE∥BC,DE=BC

          證明:在△ADE和△CFE中, ,∴△ADE≌△CFE(SAS),

          ∴∠A=∠ECF,AD=CF,∴CF∥AB,又∵AD=BD,∴CF=BD,

          ∴四邊形BCFD是平行四邊形,∴DE∥BC,DE=BC.

          (2)如圖2,延長GE、FD交于點H,

          ∵E為AD中點,

          ∴EA=ED,且∠A=∠EDH=90°,

          在△AEG和△DEH中

          ∴△AEG≌△DEH(ASA),

          ∴AG=HD=2,EG=EH,∵∠GEF=90°,∴EF垂直平分GH,

          ∴GF=HF=DH+DF=2+3=5;

          (3)如圖3,過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H,過H作CD的垂線,垂足為P,連接HF,

          同(1)可知△AEG≌△DEH,GF=HF,∴∠A=∠HDE=105°,AG=HD=,

          ∵∠ADC=120°,∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°,

          ∴∠HDP=45°,∴△PDH為等腰直角三角形,

          ∴PD=PH=3,∴PF=PD+DF=3+2=5,

          在Rt△HFP中,∠HPF=90°,HP=3,PF=5,

          ∴HF= == ∴GF=

          點睛;本題考查了四邊形的綜合應(yīng)用,考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理;本題考查知識點較多綜合性較強,難度較大.

          練習(xí)冊系列答案
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          2)若點P在邊AB上運動,如圖(2)所示,則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為:   

          3)若點P運動到邊AB的延長線上,如圖(3)所示,則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系?猜想并說明理由.

          4)若點P運動到△ABC形外,如圖(4)所示,則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為:  .

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          ;

          ;

          若直徑AGBD交BD于點H,AC=FC=4,DF=3,則cosF=;

          則正確的結(jié)論是(

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