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        1. 【題目】我們不妨約定:對角線互相垂直的凸四邊形叫做十字形”.

          (1)①在平行四邊形,矩形,菱形,正方形中,一定是十字形的有   

          ②在凸四邊形ABCD中,AB=ADCB≠CD,則該四邊形   十字形.(填不是”)

          (2)如圖1,A,B,C,D是半徑為1的⊙O上按逆時針方向排列的四個動點,ACBD交于點E,ADB﹣CDB=ABD﹣CBD,當(dāng)6≤AC2+BD2≤7時,求OE的取值范圍;

          (3)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a>0,c<0)與x軸交于A,C兩點(點A在點C的左側(cè)),B是拋物線與y軸的交點,點D的坐標(biāo)為(0,﹣ac),記十字形”ABCD的面積為S,記AOB,COD,AOD,BOC的面積分別為S1,S2,S3,S4.求同時滿足下列三個條件的拋物線的解析式;

          = ;= ;十字形”ABCD的周長為12

          【答案】(1)①菱形,正方形;②不是;(2)(OE>0);(3)y=x2﹣9.

          【解析】1)利用十字形的定義判斷即可;

          (2)先判斷出∠ADB+CAD=ABD+CAB,進而判斷出∠AED=AEB=90°,即:ACBD,再判斷出四邊形OMEN是矩形,進而得出OE2=2-(AC2+BD2),即可得出結(jié)論;

          (3)由題意得,A(,0),B(0,c),C(,0),D(0,-ac),求出S=ACBD=-(ac+c)×,S1=OAOB=-,S2=OCOD=-,S3=OA×OD=-,S4=OB×OC=-,進而建立方程,求出a=1,再求出b=0,進而判斷出四邊形ABCD是菱形,求出AD=3,進而求出c=-9,即可得出結(jié)論.

          1)①∵菱形,正方形的對角線互相垂直,

          ∴菱形,正方形是:十字形”,

          ∵平行四邊形,矩形的對角線不一定垂直,

          ∴平行四邊形,矩形不是十字形”,

          故答案為:菱形,正方形;

          ②如圖,

          當(dāng)CB=CD時,在ABCADC中,

          ,

          ABC≌△ADC(SSS),

          ∴∠BAC=DAC,

          AB=AD,

          ACBD,

          ∴當(dāng)CB≠CD時,四邊形ABCD不是十字形”,

          故答案為:不是;

          (2)∵∠ADB+CBD=ABD+CDB,CBD=CDB=CAB,

          ∴∠ADB+CAD=ABD+CAB,

          180°﹣AED=180°﹣AEB,

          ∴∠AED=AEB=90°,

          ACBD,

          過點OOMACM,ONBDN,連接OA,OD,

          OA=OD=1,OM2=OA2﹣AM2,ON2=OD2﹣DN2,AM=AC,DN=BD,四邊形OMEN是矩形,

          ON=ME,OE2=OM2+ME2,

          OE2=OM2+ON2=2﹣(AC2+BD2),

          6≤AC2+BD2≤7,

          2﹣≤OE2≤2﹣,

          ≤OE2

          ≤OE≤

          (3)由題意得,A(,0),B(0,c),C(,0),D(0,﹣ac),

          a>0,c<0,

          OA=,OB=﹣c,OC=,OD=﹣ac,AC=,BD=﹣ac﹣c,

          S=ACBD=﹣(ac+c)×,S1=OAOB=﹣,S2=OCOD=﹣,

          S3=OA×OD=﹣,S4=OB×OC=﹣

          ,,

          ,

          =2,

          a=1,

          S=﹣c,S1=﹣,S4=﹣

          S=S1+S2+2,

          ﹣c=﹣

          b=0,

          A(,0),B(0,c),C(,0),d(0,﹣c),

          ∴四邊形ABCD是菱形,

          4AD=12,

          AD=3,

          即:AD2=90,

          AD2=c2﹣c,

          c2﹣c=90,

          c=﹣9c=10(舍),

          即:y=x2﹣9.

          練習(xí)冊系列答案
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