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        1. 如圖,已知拋物線過點A(0,6),B(2,0),C(6,0),直線AB交拋物線的對稱軸于點F,直線AC交拋物線對稱軸于點E.
          (1)求拋物線的解析式;
          (2)求證:點E與點F關(guān)于頂點D對稱;
          (3)在y軸上是否存在這樣的點P,使△AFP與△FDC相似?若有,請求出所有合條件的點P的坐標;若沒有,請說明理由.
          分析:(1)根據(jù)點B、C的坐標設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)(x-6),把點A坐標代入求解得到a的值,即可得到函數(shù)解析式;
          (2)根據(jù)拋物線解析式確定出對稱軸與頂點坐標,利用待定系數(shù)法求出直線AB、AC的解析式,然后求出點E、F的坐標,即可得證;
          (3)根據(jù)點A、B、C、D、F的坐標求出AF、FD、FC的長度,再利用正切函數(shù)確定出∠BAO=∠CFD,然后利用兩邊對應(yīng)成比例,夾角相等,兩三角形相似分兩種情況列出比例式求出AP的長度,再求出OP的長度,即可得到點P的坐標.
          解答:解:(1)∵拋物線過點B(2,0),C(6,0),
          ∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)(x-6),
          又∵拋物線經(jīng)過點A(0,6),
          ∴a(0-2)(0-6)=6,
          解得a=
          1
          2
          ,
          所以,拋物線解析式為y=
          1
          2
          (x-2)(x-6),
          即y=
          1
          2
          x2-4x+6;

          (2)證明:∵y=
          1
          2
          x2-4x+6=
          1
          2
          (x2-8x+16)-2=
          1
          2
          (x-4)2-2,
          ∴拋物線對稱軸為直線x=4,頂點坐標為D(4,-2),
          設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,
          b=6
          6k+b=0
          ,
          解得
          k=-1
          b=6
          ,
          所以,直線AC的解析式為y=-x+6,
          當x=4時,y=-4+6=2,
          所以,點E(4,2),
          所以,DE=2-(-2)=4,
          設(shè)直線AB解析式為y=ex+f,
          f=6
          2e+f=0
          ,
          解得
          e=-3
          f=6

          所以,直線AB的解析式為y=-3x+6,
          當x=4時,y=-3×4+6=-6,
          所以,點F(4,-6),
          所以,DF=-2-(-6)=4,
          所以,DE=DF,
          故,點E與點F關(guān)于頂點D對稱;

          (3)解:∵A(0,6),B(2,0),C(6,0),D(4,-2),F(xiàn)(4,-6),
          ∴AF=
          (6+6)2+42
          =4
          10
          ,F(xiàn)D=-2-(-6)=4,F(xiàn)C=
          62+(6-4)2
          =2
          10
          ,
          ∵tan∠BAO=
          OB
          OA
          =
          2
          6
          =
          1
          3
          ,tan∠CFD=
          6-4
          6
          =
          1
          3
          ,
          ∴∠BAO=∠CFD,
          ①當AP與FD是對應(yīng)邊時,∵△AFP∽△FCD,
          AP
          FD
          =
          AF
          FC
          ,
          AP
          4
          =
          4
          10
          2
          10
          ,
          解得AP=8,
          所以,OP=8-6=2,
          此時,點P的坐標為(0,-2);
          ②當AP與FC是對應(yīng)邊時,∵△AFP∽△FDC,
          AP
          FC
          =
          AF
          FD
          ,
          AP
          2
          10
          =
          4
          10
          4

          解得AP=20,
          所以,OP=20-6=14,
          此時,點P的坐標為(0,-14),
          綜上所述,存在點P(0,-2),(0,-14),使△AFP與△FDC相似.
          點評:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式(包括二次函數(shù)解析式,直線解析式),兩點間的距離公式,相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì),(1)用交點式解析式求解比較簡單,(3)先利用銳角的正切值相等判斷出∠BAO=∠CFD是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

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          精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線過點A(-1,0)、B(4,0)、C(
          11
          5
          ,-
          12
          5
          )

          (1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及對稱軸;
          (2)點C′是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點,證明直線y=-
          4
          3
          (x+1)
          必經(jīng)過點C′.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線過點A(0,6),B(2,0),C(7,
          52
          ).
          (1)求拋物線的解析式;
          (2)若D是拋物線的頂點,E是拋物線的對稱軸與直線AC的交點,F(xiàn)與E關(guān)于D對稱,求證:∠CFE=∠AFE;
          (3)在y軸上是否存在這樣的點P,使△AFP與△FDC相似?若有請求出所有符和條件的點P的坐標;若沒有,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線過點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3).
          (1)求該拋物線的解析式及其頂點的坐標;
          (2)若P是拋物線上C、B兩點之間的一動點,請連接CP、BP,是否存在點P,使得四邊形OBPC的面積最大?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省濟南市天橋區(qū)九年級中考三模數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          如圖,已知拋物線過點A(0,6),B(2,0),C(7,). 若D是拋物線的頂點,E是拋物線的對稱軸與直線AC的交點,F(xiàn)與E關(guān)于D對稱.

          (1)求拋物線的解析式;

          (2)求證:∠CFE=∠AFE;

          (3)在y軸上是否存在這樣的點P,使△AFP與△FDC相似,若有,請求出所有合條件的點P的坐標;若沒有,請說明理由.

           

           

           

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