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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線過點A(0,6),B(2,0),C(7,
          52
          ).
          (1)求拋物線的解析式;
          (2)若D是拋物線的頂點,E是拋物線的對稱軸與直線AC的交點,F(xiàn)與E關(guān)于D對稱,求證:∠CFE=∠AFE;
          (3)在y軸上是否存在這樣的點P,使△AFP與△FDC相似?若有請求出所有符和條件的點P的坐標;若沒有,請說明理由.
          分析:(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,將A、B、C三點坐標代入,列方程組求拋物線解析式;
          (2)求直線AC的解析式,確定E點坐標,根據(jù)對稱性求F點坐標,分別求直線AF,CF的解析式,確定兩直線與x軸的交點坐標,判斷兩個交點關(guān)于拋物線對稱軸對稱即可;
          (3)存在.由∠CFE=∠AFE=∠FAP,△AFP與△FDC相似時,頂點A與頂點F對應(yīng),根據(jù)△AFP∽△FDC,△AFP∽△FCD,兩種情況求P點坐標.
          解答:(1)解:設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,將A、B、C三點坐標代入,得
          c=6
          4a+2b+c=0
          49a+7b+c=
          5
          2
          ,
          解得
          a=
          1
          2
          b=-4
          c=6

          ∴拋物線解析式為y=
          1
          2
          x2-4x+6;

          (2)證明:設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=mx+n,
          將A、C兩點坐標代入,得
          n=6
          7m+n=
          5
          2

          解得
          m=-
          1
          2
          n=6
          ,
          ∴y=-
          1
          2
          x+6,
          ∵y=
          1
          2
          x2-4x+6=
          1
          2
          (x-4)2-2,
          ∴D(4,-2),E(4,4),
          ∵F與E關(guān)于D對稱,
          ∴F(4,-8),則直線AF的解析式為y=-
          7
          2
          x+6,CF的解析式為y=
          7
          2
          x-22,
          ∴直線AF,CF與x軸的交點坐標分別為(
          12
          7
          ,0),(
          44
          7
          ,0),
          ∵4-
          12
          7
          =
          44
          7
          -4,
          ∴兩個交點關(guān)于拋物線對稱軸x=4對稱,
          ∴∠CFE=∠AFE;

          (3)解:存在.
          設(shè)P(0,d),則AP=|6-d|,AF=
          42+(6+8)2
          =2
          53

          FD=-2-(-8)=6,CF=
          (7-4)2+(
          5
          2
          +8)
          2
          =
          3
          53
          2
          ,
          ∵∠PAF=∠CFD,
          ∴點P位于點A的下方,
          當(dāng)△AFP∽△FDC時,
          AP
          AF
          =
          FC
          FD
          ,即
          6-d
          2
          53
          =
          3
          53
          2
          6
          ,解得d=-
          41
          2
          ,
          當(dāng)△AFP∽△FCD時,
          AP
          AF
          =
          FD
          FC
          ,即
          6-d
          2
          53
          =
          6
          3
          53
          2
          ,解得d=-2,
          ∴P點坐標為(0,-
          41
          2
          )或(0,-2).
          點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合運用.關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求拋物線解析式,根據(jù)拋物線的對稱性,相似三角形的知識解題.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線過點A(-1,0)、B(4,0)、C(
          11
          5
          ,-
          12
          5
          )

          (1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及對稱軸;
          (2)點C′是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點,證明直線y=-
          4
          3
          (x+1)
          必經(jīng)過點C′.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線過點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3).
          (1)求該拋物線的解析式及其頂點的坐標;
          (2)若P是拋物線上C、B兩點之間的一動點,請連接CP、BP,是否存在點P,使得四邊形OBPC的面積最大?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線過點A(0,6),B(2,0),C(6,0),直線AB交拋物線的對稱軸于點F,直線AC交拋物線對稱軸于點E.
          (1)求拋物線的解析式;
          (2)求證:點E與點F關(guān)于頂點D對稱;
          (3)在y軸上是否存在這樣的點P,使△AFP與△FDC相似?若有,請求出所有合條件的點P的坐標;若沒有,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省濟南市天橋區(qū)九年級中考三模數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          如圖,已知拋物線過點A(0,6),B(2,0),C(7,). 若D是拋物線的頂點,E是拋物線的對稱軸與直線AC的交點,F(xiàn)與E關(guān)于D對稱.

          (1)求拋物線的解析式;

          (2)求證:∠CFE=∠AFE;

          (3)在y軸上是否存在這樣的點P,使△AFP與△FDC相似,若有,請求出所有合條件的點P的坐標;若沒有,請說明理由.

           

           

           

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