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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線過點(diǎn)A(0,6),B(2,0),C(7,
          52
          ).
          (1)求拋物線的解析式;
          (2)若D是拋物線的頂點(diǎn),E是拋物線的對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn),F(xiàn)與E關(guān)于D對(duì)稱,求證:∠CFE=∠AFE;
          (3)在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使△AFP與△FDC相似?若有請(qǐng)求出所有符和條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若沒有,請(qǐng)說明理由.
          分析:(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入,列方程組求拋物線解析式;
          (2)求直線AC的解析式,確定E點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)對(duì)稱性求F點(diǎn)坐標(biāo),分別求直線AF,CF的解析式,確定兩直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),判斷兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱即可;
          (3)存在.由∠CFE=∠AFE=∠FAP,△AFP與△FDC相似時(shí),頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)F對(duì)應(yīng),根據(jù)△AFP∽△FDC,△AFP∽△FCD,兩種情況求P點(diǎn)坐標(biāo).
          解答:(1)解:設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入,得
          c=6
          4a+2b+c=0
          49a+7b+c=
          5
          2
          ,
          解得
          a=
          1
          2
          b=-4
          c=6

          ∴拋物線解析式為y=
          1
          2
          x2-4x+6;

          (2)證明:設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=mx+n,
          將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,得
          n=6
          7m+n=
          5
          2
          ,
          解得
          m=-
          1
          2
          n=6
          ,
          ∴y=-
          1
          2
          x+6,
          ∵y=
          1
          2
          x2-4x+6=
          1
          2
          (x-4)2-2,
          ∴D(4,-2),E(4,4),
          ∵F與E關(guān)于D對(duì)稱,
          ∴F(4,-8),則直線AF的解析式為y=-
          7
          2
          x+6,CF的解析式為y=
          7
          2
          x-22,
          ∴直線AF,CF與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(
          12
          7
          ,0),(
          44
          7
          ,0),
          ∵4-
          12
          7
          =
          44
          7
          -4,
          ∴兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=4對(duì)稱,
          ∴∠CFE=∠AFE;

          (3)解:存在.
          設(shè)P(0,d),則AP=|6-d|,AF=
          42+(6+8)2
          =2
          53
          ,
          FD=-2-(-8)=6,CF=
          (7-4)2+(
          5
          2
          +8)
          2
          =
          3
          53
          2

          ∵∠PAF=∠CFD,
          ∴點(diǎn)P位于點(diǎn)A的下方,
          當(dāng)△AFP∽△FDC時(shí),
          AP
          AF
          =
          FC
          FD
          ,即
          6-d
          2
          53
          =
          3
          53
          2
          6
          ,解得d=-
          41
          2
          ,
          當(dāng)△AFP∽△FCD時(shí),
          AP
          AF
          =
          FD
          FC
          ,即
          6-d
          2
          53
          =
          6
          3
          53
          2
          ,解得d=-2,
          ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-
          41
          2
          )或(0,-2).
          點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求拋物線解析式,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,相似三角形的知識(shí)解題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線過點(diǎn)A(-1,0)、B(4,0)、C(
          11
          5
          ,-
          12
          5
          )

          (1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及對(duì)稱軸;
          (2)點(diǎn)C′是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn),證明直線y=-
          4
          3
          (x+1)
          必經(jīng)過點(diǎn)C′.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線過點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3).
          (1)求該拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo);
          (2)若P是拋物線上C、B兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)連接CP、BP,是否存在點(diǎn)P,使得四邊形OBPC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線過點(diǎn)A(0,6),B(2,0),C(6,0),直線AB交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F,直線AC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E.
          (1)求拋物線的解析式;
          (2)求證:點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于頂點(diǎn)D對(duì)稱;
          (3)在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使△AFP與△FDC相似?若有,請(qǐng)求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若沒有,請(qǐng)說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省濟(jì)南市天橋區(qū)九年級(jí)中考三模數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          如圖,已知拋物線過點(diǎn)A(0,6),B(2,0),C(7,). 若D是拋物線的頂點(diǎn),E是拋物線的對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn),F(xiàn)與E關(guān)于D對(duì)稱.

          (1)求拋物線的解析式;

          (2)求證:∠CFE=∠AFE;

          (3)在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使△AFP與△FDC相似,若有,請(qǐng)求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若沒有,請(qǐng)說明理由.

           

           

           

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