Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點(diǎn)E為射線DC上的一個(gè)動點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊點(diǎn)．D的對應(yīng)點(diǎn)為D′．
（1）求點(diǎn)D′剛好落在對角線AC上時(shí)，D′C的長；
（2）求點(diǎn)D′剛好落在此對稱軸上時(shí)，線段DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，在Rt△ABC中，

∵∴AD′=AD=5，

∵AC= = = ，

∴CD′=AC﹣AD′= ﹣5

（2）解：①當(dāng)D′落在對稱軸GH上，

∵GH是矩形對稱軸，

∴AC= AD，

由翻折的性質(zhì)得：AD′=AD，∠DAE= ∠DAD′，

∴GA= AD′，

∴在Rt△AGD′中，∠GAD′=60°，

∴∠DAE= ∠DAD′=30°，

在Rt△ADE中，

∵tan∠DAE= ，即：tan30°= ，

∴DE= ，

②當(dāng)D′落在對稱軸MN上，又分兩種情況，

第一種：點(diǎn)E在DC上，如圖3，

∵M(jìn)N是矩形對稱軸，

∴DM=AN=4，

由翻折得：AD′=AD，

在Rt△AND′中，

D′N= =3，

∴D′M=MN﹣D′N=5﹣3=2，

設(shè)DE=ED′=x，

在Rt△EAD′中，

ED′2=EM2+MD′2，

即：x2=（4﹣x）2+22，

解之得：x= ，即DE= ，

第二種：點(diǎn)E在DC延長線上，如圖4，方法同上，DE=10．

綜上所述，點(diǎn)D′落在矩形對稱軸上時(shí)，DE的長為 或 或10．

【解析】（1）如圖1，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）①當(dāng)D′落在對稱軸GH上，由翻折的性質(zhì)得到AD′=AD，∠DAE= ∠DAD′，求得GA= AD′，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DAE= ∠DAD′=30°，根據(jù)三角函數(shù)的定即可得到結(jié)論；②當(dāng)D′落在對稱軸MN上，又分兩種情況，第一種：點(diǎn)E在DC上，如圖3，得到DM=AN=4，由翻折的性質(zhì)得到AD′=AD，在Rt△AND′中，由勾股定理得到D′N= =3，得到D′M=MN﹣D′N=5﹣3=2，設(shè)DE=ED′=x，在Rt△EAD′中，根據(jù)勾股定理得到DE= ，第二種：點(diǎn)E在DC延長線上，同理得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和翻折變換（折疊問題）的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對角線相等；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和角相等才能正確解答此題．