Question

如圖①，在邊長(zhǎng)為8

2

cm正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們分別從點(diǎn)A，點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，沿對(duì)角線以1cm/s同速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)E作EH垂直AC交的直角邊于H；過(guò)F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角邊于G，連接HG，EB．設(shè)HE，EF，F(xiàn)G，GH圍成的圖形面積為S₁，AE，EB，BA圍成的圖形面積為S₂（這里規(guī)定：線段的面積為0）．E到達(dá)C，F(xiàn)到達(dá)A停止．若E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)0＜x＜8時(shí)，直接寫(xiě)出以E，F(xiàn)，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是什么四邊形，并求x為何值時(shí)，S₁=S₂．
（2）①若y是S₁與S₂的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（圖②為備用圖）
②求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知△AEH≌△CFG，由平行線的判定定理可知HE∥GF，即可求出結(jié)論．
根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)可求出AC的長(zhǎng)，過(guò)B作BO⊥AC于O，OB即為△ABE的高，設(shè)AE=x，YO用含x的關(guān)系式表示出S₁、S₂即可求出x的值．
（2）①因?yàn)楫?dāng)x=8時(shí)，EF重合此時(shí)S₁=0，y=S₂故應(yīng)分0≤x＜8與8≤x≤16兩種情況討論．
②同①分兩種情況用含x的代數(shù)式表示出y的值，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求出y的最大值．

解答：解：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知∠HAE=∠GCF，由于A、C運(yùn)動(dòng)的速度相同，
故AE=CF，易證△AEH≌△CFG，由平行線的判定定理可知HE∥GF，
所以，以E，F(xiàn)，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．（1分）
∵正方形邊長(zhǎng)為8

2

，
∴AC=16．
∵AE=x，過(guò)B作BO⊥AC于O，則BO=8．
∴S₂=4x（2分）
∵HE=x，EF=16-2x，
∴S₁=x（16-2x）．（3分）
當(dāng)S₁=S₂時(shí)，x（16-2x）=4x．
解得x₁=0（舍去），x₂=6．（4分）
∴當(dāng)x=6時(shí)，S₁=S₂．

（2）①當(dāng)0≤x＜8時(shí)，y=x（16-2x）+4x=-2x²+20x．（5分）
當(dāng)8≤x≤16時(shí)，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2（16-x）=2x-16．（6分）
∴S₁=（16-x）（2x-16）．
∴y=（16-x）（2x-16）+4x=-2x²+52x-256．（7分）
②解法1：當(dāng)0≤x＜8時(shí)，y=-2x²+20x=-2（x²-10x+25）+50=-2（x-5）²+50，
∴當(dāng)x=5時(shí)，y的最大值為50．（8分）
當(dāng)8≤x≤16時(shí)，y=-2x²+52x-256=-2（x-13）²+82，
∴當(dāng)x=13時(shí)，y的最大值為82．（9分）
綜上可得，y的最大值為82．（10）
解法2：y=-2x²+20x（0≤x＜8），
當(dāng)x=-

20

2×(-2)

=5時(shí)，y的最大值為50．（8分）
y=-2x²+52x-256（8≤x≤16），
當(dāng)x=-

52

2×(-2)

=13時(shí)，y的最大值為82．（9分）
綜上可得，y的最大值為82．（10）

說(shuō)明：（1）自變量取值含0，8，16或不含均可不扣分．
（2）圖②中的草圖不正確不扣分．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，把求面積的最值轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，鍛煉了同學(xué)們對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．