Question

如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個(gè)村莊，A村到公路l的距離AC=1km，B村到公路l的距離BD=2km，B村在A村的南偏東45°方向上．

（1）求出A，B兩村之間的距離；
（2）為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)P的位置（不寫作法，保留清晰的作圖痕跡）．

Answer 1

過點(diǎn)作直線的平行線交的延長線于---1分
易證四邊形是矩形----2分----3分
在中，由，可得---4分
（km）兩村的距離為km-----6分．
（2）作圖正確，痕跡清晰---9分

（1）易得∠CAB=45°那么可根據(jù)45°的三角函數(shù)來求得AB的兩段長，相加即可；
（2）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．到點(diǎn)A，B的距離相等，應(yīng)在線段AB的垂直平分線上．
解：（1）設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為O，根據(jù)題意可得∠A=∠B=45度，
∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．（1分）

∴AO=，BO=2．
∴A，B兩村的距離為AB=AO+BO=+2=3（km）．（4分）
（2）作圖正確，痕跡清晰．（5分）
作法：①分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于兩點(diǎn)M，N，作直線MN；
②直線MN交l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．（7分）