Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0.

(1)判斷方程根的情況;

(2)若方程的兩根x1,x2滿足(x1-1)(x2-1)=5,求k值;

(3)若△ABC的兩邊AB,AC的長是方程的兩根,第三邊BC的長為5,

①則k為何值時(shí),△ABC是以BC為斜邊的直角三角形?

②k為何值時(shí),△ABC是等腰三角形,并求出△ABC的周長.

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2) k=；(3) 當(dāng)k=3時(shí),△ABC是等腰三角形,此時(shí)△ABC的周長為14;當(dāng)k=4時(shí),△ABC是等腰三角形,此時(shí)△ABC的周長為16.

【解析】

（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△＝1＞0，由此即可得出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答；

（3）利用分解因式法可求出x1＝k＋1，x2＝k＋2．①不妨設(shè)AB＝k＋1，AC＝k＋2，根據(jù)BC＝5利用勾股定理即可得出關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根據(jù)（1）結(jié)論可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分兩種情況，分AB＝BC、AC＝BC兩種情況考慮，根據(jù)兩邊相等找出關(guān)于k的一元一次方程，解方程求出k值，進(jìn)而可得出三角形的三邊長，再根據(jù)三角形的周長公式即可得出結(jié)論

(1)∵在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0中，

Δ=b2-4ac=[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)=1>0，

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)∵x1+x2=2k+3，x1·x2=k2+3k+2，

∴由(x1-1)(x2-1)=5，得x1·x2-(x1+x2)+1=5，

即k2+3k+2-2k-3+1=5，

整理得k2+k-5=0，

解得k=；

(3)∵x2-(2k+3)x+k2+3k+2=(x-k-1)(x-k-2)=0，

∴x1=k+1，x2=k+2.

①不妨設(shè)AB=k+1，AC=k+2，

∴斜邊BC=5時(shí)，有AB2+AC2=BC2，

即(k+1)2+(k+2)2=25，

解得k1=2，k2=-5(舍去)，

∴當(dāng)k=2時(shí)，△ABC是直角三角形；

②∵AB=k+1，AC=k+2，BC=5，由(1)知AB≠AC，故有兩種情況：

(Ⅰ)當(dāng)AC=BC=5時(shí)，k+2=5，

∴k=3，AB=3+1=4，

∵4，5，5滿足任意兩邊之和大于第三邊，

∴此時(shí)△ABC的周長為4+5+5=14；

(Ⅱ)當(dāng)AB=BC=5時(shí)，k+1=5，

∴k=4，AC=k+2=6，

∵6，5，5滿足任意兩邊之和大于第三邊，

∴此時(shí)△ABC的周長為6+5+5=16.

綜上可知，當(dāng)k=3時(shí)，△ABC是等腰三角形，此時(shí)△ABC的周長為14；當(dāng)k=4時(shí)，△ABC是等腰三角形，此時(shí)△ABC的周長為16.