Question

如圖，A（0，6），C（1，0），H（0，1），且BH⊥AC．

（1）求點B的坐標；
（2）如圖，若A，B，C在⊙M上，MN⊥BC于點N，求證：AH=2MN；

（3）以O為圓心，OA為半徑作扇形OAB（如圖），P為扇形OAB的

AB

上異于A，B的動點，PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，D，Q在EF上，且ED=DQ=QF．①當點P在

AB

上運動時，在線段PE，PD，ED中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度，若不存在，請說明理由．②PE²+3PQ²的值是定值嗎？若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）延長BH交AC于P，如圖，
∵BH⊥AC，
∴∠HBO=∠OAC，
∵C（1，0），H（0，1），
∴OH=OC，
∴Rt△BOH≌Rt△AOC，
∴OB=OA，
而A（0，6），
∴B（-6，0）；

（2）⊙M交y軸于D，過M點作MG⊥OA于G，如圖，
∴∠DBC=∠DAC，
∴∠DBO=∠HBO，
∴OD=OH=1，
∴DG=AG=

1

2

DA=3.5，
∴OG=3.5-1=2.5，
而MN⊥BC，
∴四邊形MNOG為矩形，
∴MN=OG=2.5，
又∵AH=AO-OH=6-1=5，
∴AH=2MN；

（3）①存在長度不變的線段DE．
∵PE⊥OA，PF⊥OB于F，
∴四邊形PEOF為矩形，線段PF和PE的長隨P的變化而變化，
∴EF=OP=6，
而ED=DQ=QF，
∴DE=

1

3

EF=2；
②PE²+3PQ²的值是定值．
過Q作QC⊥PF于C，如圖，
∴QC∥PE，
∴CQ：PE=FC：FP=FQ：FE=1：3，
∴CQ=

1

3

PE，CF=

1

3

PF，
∴PC=

2

3

PF，
在Rt△PCQ中，PQ²=PC²+CQ²，
∴PQ²=

4

9

PF²+

1

9

PE²，
∴PE²+3PQ²=PE²+

4

3

PF²+

1

3

PE²=

4

3

（PF²+PE²）=

4

3

EF²=

4

3

×6²=48．