Question

【題目】（1）如圖1，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，填空：當(dāng)點(diǎn)位于__________時(shí)，線段的長(zhǎng)取到最大值__________，且最大值為；（用含、的式子表示）．

（2）如圖2，若點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，分別以，為邊，作等邊和等邊，連接，．

①圖中與線段相等的線段是線段__________，并說明理由；

②直接寫出線段長(zhǎng)的最大值為__________．

（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，，請(qǐng)直接寫出線段長(zhǎng)的最大值為__________，及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．（提示：等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)、、滿足）

Answer 1

【答案】CB的延長(zhǎng)線上； a+b； CD=BE，證明見解析； 9； ； 或.

【解析】

(1) 根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，即可得到結(jié)論; .

(2) ①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE;②由于線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)(1) 中的結(jié)論即可得到結(jié)果;

(3)連接BM，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=4, BN=AM.根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值為如圖2.過P作PE⊥x軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解: (1) ∵點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a, AB=b,

∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b.

故答案為: CB的延長(zhǎng)線上，a+b;

(2) ①CD=BE,

理由:∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.

∴∠CAD=∠EAB,

在△CAD與△EAB中，

∴△CAD≌△EAB (SAS) ，

∴CD=BE.

②∵線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值,

由(1)知，當(dāng)線段CD的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上,

∴最大值為BD+BC=AB+BC=9;

故答案為：CD=BE，9.

（3）如圖1：

∵將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN,則△APN是等腰直角三角形。

∴PN=PA=2，BN=AM, .

∵A的坐標(biāo)為(4. 0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10, 0) ,

∴OA=4，OB=10,

∴AB=6.

∴線段AM長(zhǎng)的最大值=線段BN長(zhǎng)的最大值,

∴當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，最大值=AB+AN,

∵

∴最大值為:

如圖2.

過P作PE⊥x軸于E,

∵△APN是等腰直角三角形,

∴ ,

∴

∴ .

如圖3中，

根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，時(shí)，也滿足條件.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo) 或 ，AM的最大值為.

故答案為：， 或