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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          如圖,直線l經過⊙O的圓心O,且與⊙O交于A、B兩點,點C在⊙O上,且∠AOC=30°,點P是直線l上的一個動點(與圓心O不重合),直線CP與⊙O相交于另一點Q,如果QP=QO,則∠OCP=______.
          ①根據題意,畫出圖(1),
          在△QOC中,OC=OQ,
          ∴∠OQC=∠OCP,
          在△OPQ中,QP=QO,
          ∴∠QOP=∠QPO,
          又∵∠AOC=30°,
          ∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°,
          在△OPQ中,∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°,
          即(∠OCP+30°)+(∠OCP+30°)+∠OCP=180°,
          整理得,3∠OCP=120°,
          ∴∠OCP=40°.

          ②當P在線段OA的延長線上(如圖2)
          ∵OC=OQ,
          ∴∠OQP=(180°-∠QOC)×
          1
          2
          ①,
          ∵OQ=PQ,
          ∴∠OPQ=(180°-∠OQP)×
          1
          2
          ②,
          在△OQP中,30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③,
          把①②代入③得:
          60°+∠QOC=∠OQP,
          ∵∠OQP=∠QCO,
          ∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2(60°+∠QOC)=180°,
          ∴∠QOC=20°,則∠OQP=80°
          ∴∠OCP=100°;

          ③當P在線段OA的反向延長線上(如圖3),
          ∵OC=OQ,
          ∴∠OCP=∠OQC=(180°-∠COQ)×
          1
          2
          ①,
          ∵OQ=PQ,
          ∴∠P=(180°-∠OQP)×
          1
          2
          ②,
          ∵∠AOC=30°,
          ∴∠COQ+∠POQ=150°③,
          ∵∠P=∠POQ,2∠P=∠OCP=∠OQC④,
          ①②③④聯立得
          ∠P=10°,
          ∴∠OCP=180°-150°-10°=20°.
          故答案為:40°、20°、100°.
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