Question

如圖，已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB=30°，∠B=90°，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A，B，O三點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）中的二次函數(shù)圖象的OB段（不包括O，B點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及四邊形ABCO的最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=

3

，
過點(diǎn)B作BD垂直于x軸，垂足為D，
則OD=

3

cos30°=

3

2

，BD=

1

2

BO=

3

2

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）；

（2）將A（2，0）、B（

3

2

，

3

2

）、O（0，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，
得：

4a+2b+c=0 9 4 a+ 3 2 b+c= 3 2 c=0

，
解方程組，

a=- 2 3 3 b= 4 3 3 c=0

，
∴所求二次函數(shù)解析式是y=-

2 3

3

x²+

4 3

3

x；

（3）設(shè)存在點(diǎn)C（x，-

2 3

3

x²+

4 3

3

x）（其中0＜x＜

3

2

），使四邊形ABCO面積最大，而△OAB面積為定值，
只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．
過點(diǎn)C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，
則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=

1

2

|CF|•|OE|+

1

2

|CF|•|ED|=

1

2

|CF|•|OD|=

3

4

|CF|，
而|CF|=y_C-y_F=-

2 3

3

x²+

4 3

3

x-

3

3

x=-

2 3

3

x²+

3

x，
∴S_△OBC=-

3

2

x²+

3 3

4

x，
∴當(dāng)x=

3

4

時(shí)，△OBC面積最大，最大面積為

9 3

32

．
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

4

，

5 3

8

），
故四邊形ABCO的最大面積為：

25 3

32

．