Question

在△ABC中，P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AP為直徑的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)E和點(diǎn)F．
（1）若∠BAC=45°，EF=4，則AP的長(zhǎng)為多少？
（2）在（1）條件下，求陰影部分面積．
（3）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，EF最短？請(qǐng)直接寫出你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明．

Answer 1

（1）連接OE、OF．
∵∠EOF=2∠EAF，∠EAF=45°，
∴∠EOF=90°；
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴OE=

2

2

EF=2

2

，
∴直徑AP=2OE=4

2

；

（2）S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF=

90π•(2 2 )2

360

-

1

2

×2

2

×2

2

=2π-4；

（3）在三角形OEP中，根據(jù)垂徑定理和勾股定理知，當(dāng)OP取最小值時(shí)，EF的值最��；又根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短垂線段最短知當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP最短．
所以當(dāng)AP⊥BC時(shí)，EF最短．