Question

【題目】（1）閱讀理解：

我們知道，只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個(gè)經(jīng)典的希臘問(wèn)題之一是三等分任意角，但是這個(gè)任務(wù)可以借助如圖1所示的一邊上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角頂點(diǎn)為P，

“寬臂”的寬度＝PQ＝QR＝RS，（這個(gè)條件很重要哦�。┕闯叩囊贿�MN滿(mǎn)足M，N，Q三點(diǎn)共線(xiàn)（所以PQ⊥MN）．

下面以三等分∠ABC為例說(shuō)明利用勾尺三等分銳角的過(guò)程：

第一步：畫(huà)直線(xiàn)DE使DE∥BC，且這兩條平行線(xiàn)的距離等于PQ；

第二步：移動(dòng)勾尺到合適位置，使其頂點(diǎn)P落在DE上，使勾尺的MN邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，同時(shí)讓點(diǎn)R落在∠ABC的BA邊上；

第三步：標(biāo)記此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)P所在位置，作射線(xiàn)BQ和射線(xiàn)BP．

請(qǐng)完成第三步操作，圖中∠ABC的三等分線(xiàn)是射線(xiàn)　 　、　 　．

（2）在（1）的條件下補(bǔ)全三等分∠ABC的主要證明過(guò)程：

∵　 　，BQ⊥PR，

∴BP＝BR．（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）

∴∠　 　＝∠　 　．

∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，

∴∠　 　＝∠　 　．

（角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上）

∴∠　 　＝∠　 　＝∠　 　．

（3）在（1）的條件下探究：是否成立？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)?jiān)趫D2中∠ABC的外部畫(huà)出（無(wú)需寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡即可）．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析， BP、BQ；（2）PQ＝QR，ABQ，PBQ，PBQ，PBC，ABQ，PBQ，PBC；（3）不成立，圖見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意和作法即可補(bǔ)全圖形，進(jìn)而對(duì)∠ABC的三等分線(xiàn)進(jìn)行判斷；

（2）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的判定依次進(jìn)行判斷填寫(xiě)即可；

（3）連接BS，如圖2，不成立，如圖3，作點(diǎn)Q關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)V，作射線(xiàn)BV，即為所求.

解：（1）如圖1，∠ABC的三等分線(xiàn)是射線(xiàn)BP、射線(xiàn)BQ；故答案為：BP，BQ；

（2）如圖1，作PT⊥BC于點(diǎn)T，∵PQ＝QR，BQ⊥PR，

∴BP＝BR．（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）

∴∠ABQ＝∠PBQ．

∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，

∴∠PBQ＝∠PBC．（角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上）

∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．

故答案為： PQ＝QR，ABQ，PBQ，PBQ，PBC，ABQ，PBQ，PBC；

（3）在（1）的條件下，連接BS，如圖2，∠ABS≠∠ABQ，所以∠ABS＝∠ABC不成立；

如圖3，作點(diǎn)Q關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)V，作射線(xiàn)BV，則∠ABV滿(mǎn)足∠ABV＝∠ABQ＝∠ABC，且在∠ABC外部，符合題意．