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        1. (2013•歷城區(qū)三模)如圖,已知點(1,2)在函數(shù)y=
          k
          x
          (x>0)的圖象上,矩形ABCD的邊BC在x正半軸上,E是對角線AC、BD的交點,函數(shù)y=
          k
          x
          (x>0)的圖象又經(jīng)過A,E兩點,點E的縱坐標為m.
          (1)求k的值;
          (2)求點A的坐標(用m表示);
          (3)是否存在實數(shù)m,使四邊形ABCD為正方形?若存在,請求出m的值;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)直接把點(1,2)代入函數(shù)y=
          k
          x
          即可求出k的值,進而得出反比例函數(shù)的解析式;
          (2)過E作EF⊥BC于F,由三角形中位線定理可得AB=2EF,即點A的縱坐標2m,進而可得可得A點坐標;
          (3)設(shè)點E的坐標(
          2
          m
          ,m)由EF=BF得,m=
          2
          m
          -
          1
          m
          解可得m的值.
          解答:解:(1)∵點(1,2)在反比例函數(shù)y=
          k
          x
          上,
          ∴k=1×2=2,
          ∴反比例函數(shù)的解析式為y=
          2
          x
          ;

          (2)過E作EF⊥BC于F,
          ∵點E是矩形ABCD對角線的交點,
          ∴AE=CE,
          ∴EF是△ABC中,EF為其中位線,
          ∴AB=2EF,
          ∵點A的縱坐標2m,且點A在反比例函數(shù)y=
          2
          x
          (x>0)上,
          ∴A點坐標為(
          1
          m
          ,2m);

          (3)存在.
          ∵點E在反比例函數(shù)y=
          2
          x
          的圖象上,
          ∴設(shè)點E的坐標(
          2
          m
          ,m),
          ∵四邊形ABCD為正方形,
          ∴AB=BC=2m,BF=m,
          ∴EF=BF,m=
          2
          m
          -
          1
          m
          =
          1
          m

          ∴m2=1.
          ∴m=±1
          ∵m>0,
          ∴m=1.
          點評:本題考查的是反比例函數(shù)綜合題,涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點、矩形的性質(zhì)等相關(guān)知識,難度適中.
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