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        1. (附加題)工人師傅有兩塊板材邊角料,其中一塊是邊長60cm的正方形板材;另一塊是上底為30cm,下底為120cm,高為60cm的直角梯形板材(如下圖①).工人師傅想將這兩塊板材裁成兩塊全等的矩形板材,他將兩塊板材疊放在一起,使梯形的兩個直角頂點分別與正方形的兩個頂點重合,兩塊板材的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區(qū)域(如圖②).由于受材料紋理限制,要求裁出的矩形要以點B為一個頂點.
          (1)利用圖②,求FC的長;
          (2)如圖③,若矩形的一個頂點P在線段EF上,P點到BG的距離為PN,試證明:
          PN
          NG
          =
          2
          3

          (3)利用圖③,求頂點B所對的頂點P到BC的距離PN為多少時,矩形PMBN的面積最大?最大面積是多少?
          (1)根據(jù)題意,ED=60-30=30cm,CG=120-60=60cm,
          ∵正方形的對邊平行,
          ∴ADBG,
          DF
          FC
          =
          ED
          CG

          DF
          FC
          =
          30
          60
          =
          1
          2
          ,
          又∵CD=60cm,
          ∴FC=
          2
          1+2
          ×60=40cm;

          (2)證明:∵P點到BG的距離為PN,
          ∴PN⊥BC,
          ∵四邊形ABCD是正方形,
          ∴DC⊥BC,
          ∴△GCF△GPN,
          PN
          NG
          =
          FC
          CG
          ,
          PN
          NG
          =
          40
          60
          =
          2
          3
          ;

          (3)設BN為x,則NG=120-x,
          根據(jù)(2)可得,PN=
          2
          3
          NG=
          2
          3
          (120-x),
          ∴矩形PMBN的面積=BN•PN=x•
          2
          3
          (120-x)=-
          2
          3
          (x2-120x)=-
          2
          3
          (x-60)2+2400,
          ∴當x=60時,矩形PMBN的面積最大,
          此時PN=
          2
          3
          (120-x)=
          2
          3
          (120-60)=40cm,
          最大面積值是2400cm2
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          (2)若點G是BC邊上的一個動點,當點G在什么位置時,四邊形DEFG是矩形?并求出這個矩形的周長;
          (3)在BC上能否找到另外一點G′,使四邊形DEG′F的周長與(2)中矩形DEFG的周長相等,請簡述你的理由.

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